Examen Parcial 3 - Cálculo Diforencial ( \( 1000004-\mathrm{n} \) ) Por favor escriba sus respuestas en una hoja aparte, matemáticamente justificadas y usando la escritura correcta. Durante el examen, no está permitido el uso de cualquier dispositivo electrónico (telefono celular, tablet, computador, calculadora, etc). Duracion: 80 min. De los siguientes seis puntos desarrolle solo cinco de ellos. 1. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 celulas y crece en una cantidad proporcional a su tamañ. Después de 1 hora la población se ha incrementado a t20. (a) Halle la tasa de crecimiento relativo. (b) Establezca una expresión para el número de bacterias después de \( t \) horas. (c) ¿Cuándo alcanza la población 10000 células?

Se plantea que la tasa de crecimiento de la población de bacterias es proporcional al número de células presentes, es decir se cumple que   (dN/dt) = k · N(t), donde N(t) es la cantidad de células al tiempo t (en horas) y k es la constante de proporcionalidad (también llamada “tasa de crecimiento relativo”). Se conocen las siguientes condiciones iniciales:  • En t = 0, N(0) = 100.  • En t = 1, se dice que “la población se ha incrementado a t20”. Interpretaremos este dato como que en t = 1 la población es 200. (Esta interpretación es consistente con un típico problema de crecimiento exponencial). A partir de estos datos se resuelve lo siguiente: ───────────────────────────── (a) Hallar la tasa de crecimiento relativo k La solución general de la ecuación diferencial es   N(t) = N(0) · e^(k t). Con N(0) = 100 se tiene   N(t) = 100 · e^(k t). Como en t = 1 se tiene N(1) = 200, se impone la condición   100 · e^(k·1) = 200. Dividiendo ambos lados entre 100 se obtiene   e^(k) = 2  ⟹  k = ln 2. Por tanto, la tasa de crecimiento relativo es k = ln 2. ───────────────────────────── (b) Establecer una expresión para el número de bacterias después de t horas Usando la solución general ya hallada y sustituyendo k = ln 2, se tiene   N(t) = 100 · e^( (ln 2) t ). Recordando que e^(ln 2 · t) = (e^(ln 2))^(t) = 2^t, se llega a   N(t) = 100 · 2^t. ───────────────────────────── (c) ¿Cuándo alcanza la población 10 000 células? Se iguala la expresión encontrada a 10 000 y se resuelve para t:   100 · 2^t = 10 000. Dividiendo ambos lados entre 100:   2^t = 100. Para resolver esta ecuación se toma logaritmo, por ejemplo, logaritmo natural:   ln(2^t) = ln 100  ⟹  t · ln 2 = ln 100. Resolviendo para t:   t = (ln 100)/(ln 2). Alternativamente, se puede escribir:   t = log_2 (100). Este es el tiempo necesario para que la población alcance las 10 000 células. ───────────────────────────── Resumen de las respuestas (a) k = ln 2. (b) N(t) = 100 · 2^t. (c) La población alcanza 10 000 células en t = (ln 100)/(ln 2) horas (lo mismo que t = log₂ 100). Cada uno de los pasos está basado en el modelo de crecimiento exponencial, cuya deducción y solución se fundamenta en la resolución de la ecuación diferencial de primer orden con separación de variables.