Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran \( x^{2}+y^{2}-6 x+12 y+40=0 \) dan melalui titik \( (5,-3) \) adalah \( \ldots \)

Kita mulai dengan menentukan pusat lingkaran dari persamaan \[ x^{2}+y^{2}-6x+12y+40=0. \] **Langkah 1: Kelompokkan dan selesaikan kuadrat sempurna** Kita tulis ulang persamaan dengan mengelompokkan variabel \(x\) dan \(y\): \[ x^{2} - 6x + y^{2} + 12y = -40. \] Untuk menyelesaikan kuadrat sempurna pada \(x\): \[ x^{2}-6x = \left(x-3\right)^{2} - 9, \] dan pada \(y\): \[ y^{2}+12y = \left(y+6\right)^{2} - 36. \] Substitusikan kembali ke dalam persamaan: \[ \left(x-3\right)^{2}-9 + \left(y+6\right)^{2}-36 = -40. \] **Langkah 2: Sederhanakan persamaan** Gabungkan konstanta: \[ \left(x-3\right)^{2}+\left(y+6\right)^{2} -45 = -40. \] Tambah \(45\) ke kedua sisi: \[ \left(x-3\right)^{2}+\left(y+6\right)^{2} = 5. \] Sehingga pusat lingkaran adalah \((3,-6)\). **Langkah 3: Tentukan jari-jari lingkaran baru** Lingkaran yang dicari sepusat dengan lingkaran di atas, sehingga pusatnya tetap \((3,-6)\). Karena lingkaran baru melewati titik \((5,-3)\), kita hitung jaraknya: \[ r = \sqrt{(5-3)^2 + \left(-3 - (-6)\right)^2} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}. \] **Langkah 4: Tuliskan persamaan lingkaran baru** Persamaan lingkaran dengan pusat \((3,-6)\) dan jari-jari \(\sqrt{13}\) adalah \[ (x-3)^2 + (y+6)^2 = 13. \] Jadi, persamaan lingkaran yang sepusat tersebut dan melalui titik \((5,-3)\) adalah \[ \boxed{(x-3)^2 + (y+6)^2 = 13}. \]