38.4. $$ \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{2 x-\sin x}{x}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Passo 1:** Escrevemos o limite dado:

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(\frac{2x - \sin x}{x}\right)
$$

**Passo 2:** Dividimos numerador e denominador por $$ x $$:

$$
\frac{2x - \sin x}{x} = \frac{2x}{x} - \frac{\sin x}{x} = 2 - \frac{\sin x}{x}
$$

**Passo 3:** Sabemos que $$ \sin x $$ é uma função limitada, isto é, $$-1 \leq \sin x \leq 1$$. Então:

$$
\left| \frac{\sin x}{x} \right| \leq \frac{1}{|x|}
$$

Quando $$ x \rightarrow -\infty $$, temos $$|x| \rightarrow \infty$$, logo $$\frac{1}{|x|} \rightarrow 0$$. Assim:

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sin x}{x} = 0
$$

**Passo 4:** Substituímos o limite encontrado na expressão:

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(2 - \frac{\sin x}{x}\right) = 2 - 0 = 2
$$

**Conclusão:** O valor do limite é:

$$
2
$$
O limite é 2.

38.4.