\[ \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=3 \\ 7 x_{1}-x_{2}+x_{y}=8 \\ x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=-4\end{array}\right. \] (a) ( 10 puntos.) Realiza tres iteraciones con el método de Jacobı para approximar la solución. (b) ( 10 puntos.) Realiza tres iteruciones con el método de Gauss-Seidel para apruximar la solución

Para resolver el sistema de ecuaciones y aplicar los métodos de Jacobí y Gauss-Seidel, primero necesitamos organizar las ecuaciones. Dadas las ecuaciones: 1. \( 4x_1 + x_2 + 6x_3 = 3 \) 2. \( 7x_1 - x_2 + x_3 = 8 \) 3. \( x_1 - 8x_2 + 2x_3 = -4 \) Primero, despejamos cada variable para aplicar el método de iteración. ### (a) Método de Jacobí Despejamos las variables: 1. \( x_1 = \frac{3 - x_2 - 6x_3}{4} \) 2. \( x_2 = 7x_1 + x_3 - 8 \) 3. \( x_3 = \frac{-4 - x_1 + 8x_2}{2} \) Suponiendo valores iniciales \( x_1^{(0)} = 0 \), \( x_2^{(0)} = 0 \), \( x_3^{(0)} = 0 \): **Iteración 1:** - \( x_1^{(1)} = \frac{3 - 0 - 6*0}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 \) - \( x_2^{(1)} = 7*0 + 0 - 8 = -8 \) - \( x_3^{(1)} = \frac{-4 - 0 + 8*(-8)}{2} = \frac{-4 - 64}{2} = -34 \) **Iteración 2:** - \( x_1^{(2)} = \frac{3 - (-8) - 6*(-34)}{4} = \frac{3 + 8 + 204}{4} = \frac{215}{4} = 53.75 \) - \( x_2^{(2)} = 7*0.75 + (-34) - 8 = 5.25 - 34 - 8 = -36.75 \) - \( x_3^{(2)} = \frac{-4 - 53.75 + 8*(-36.75)}{2} = \frac{-4 - 53.75 - 294}{2} = -175.375 \) **Iteración 3:** - \( x_1^{(3)} = \frac{3 - (-36.75) - 6*(-175.375)}{4} = \frac{3 + 36.75 + 1052.25}{4} = \frac{1092}{4} = 273 \) - \( x_2^{(3)} = 7*53.75 + (-175.375) - 8 = 376.25 - 175.375 - 8 = 192.875 \) - \( x_3^{(3)} = \frac{-4 - 273 + 8*(192.875)}{2} = \frac{-4 - 273 + 1543}{2} = 633.5 \) ### (b) Método de Gauss-Seidel Utilizando las mismas ecuaciones y comenzando con los mismos valores iniciales: **Iteración 1:** - \( x_1^{(1)} = 0.75 \) - \( x_2^{(1)} = 7*0.75 + 0 - 8 = 5.25 - 8 = -2.75 \) - \( x_3^{(1)} = \frac{-4 - 0.75 + 8*(-2.75)}{2} = \frac{-4 - 0.75 - 22}{2} = -13.375 \) **Iteración 2:** - \( x_1^{(2)} = \frac{3 - (-2.75) - 6*(-13.375)}{4} = \frac{3 + 2.75 + 80.25}{4} = \frac{86}{4} = 21.5 \) - \( x_2^{(2)} = 7*21.5 + (-13.375) - 8 = 150.5 - 13.375 - 8 = 129.125 \) - \( x_3^{(2)} = \frac{-4 - 21.5 + 8*(129.125)}{2} = \frac{-4 - 21.5 + 1033}{2} = 502.25 \) **Iteración