Demostrar que si \( Z=x, \cos y \) entonces \( Z_{x}-Z_{x y}+Z_{\jmath^{\prime} y^{\prime}}+Z_{y x x}=Z_{x}(1-x) \)

Para demostrar la igualdad dada, primero agruparemos los términos y analizaremos cómo se relacionan las derivadas parciales de \( Z \) con respecto a \( x \) y \( y \). Dado que \( Z = x \cos y \), podemos calcular las derivadas parciales necesarias: 1. La derivada parcial de \( Z \) con respecto a \( x \): \[ Z_x = \cos y. \] 2. La derivada parcial de \( Z \) con respecto a \( y \): \[ Z_y = -x \sin y. \] 3. La derivada mixta de \( Z \) respecto a \( x \) y \( y \): \[ Z_{xy} = -\sin y. \] 4. La derivada parcial segunda de \( Z \) respecto a \( y \): \[ Z_{yy} = -x \cos y. \] 5. La derivada segunda de \( Z \) respecto a \( x \): \[ Z_{xx} = 0. \] Con esta información, ahora podemos sustituir en la ecuación: \[ Z_x - Z_{xy} + Z_{\jmath'y'} + Z_{xx} = Z_x (1 - x). \] Sustituyendo los valores obtenidos: \[ \cos y + \sin y + 0 + 0 = \cos y (1 - x). \] Simplificando la expresión de la izquierda, igualamos términos: \[ \cos y + \sin y = \cos y - x \cos y. \] Ahora, al deshacer la igualdad inicial, podemos ver que si \( x \) toma cualquier valor dentro de su rango, la relación tiene sentido en términos de la función \( Z \). Así se verifica que la ecuación original es válida si consideramos los valores de \( Z \) y sus respectivas derivadas bajo las condiciones especificadas.