2. 15 puntos Considere el conjunto $$ H=\{(a-b, 2 b+a, a, 0) $$ a) 6 puntos Muestre que $$ H $$ es un subespacio de $$ \mathbb{R}^{4} $$. b) 6 puntos Encuentre una base para $$ H $$. c) 3 puntos Determine la dimensión de $$ H $$.

Question

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**a) Demostración de que $$ H $$ es un subespacio de $$ \mathbb{R}^{4} $$:**

1. **No vacío:**  
   Si tomamos $$ a=0 $$ y $$ b=0 $$, entonces  
   $$
   (a-b,\, 2b+a,\, a,\, 0) = (0-0,\, 0+0,\, 0,\, 0) = (0,0,0,0).
   $$
   Se concluye que el vector cero está en $$ H $$, por lo que $$ H $$ es no vacío.

2. **Cerrado bajo la suma:**  
   Sean dos vectores en $$ H $$:
   $$
   u = (a-b,\;2b+a,\;a,\;0) \quad \text{y} \quad v = (a'-b',\;2b'+a',\;a',\;0),
   $$
   donde $$ a,b,a',b' \in \mathbb{R} $$.  
   Al sumarlos se obtiene:
   $$
   u+v = \bigl[(a+a') - (b+b'),\; (a+a')+2(b+b'),\; a+a',\;0\bigr].
   $$
   Esto se puede escribir en la forma $$ (a''-b'',\;2b''+a'',\;a'',\;0) $$ donde se define $$ a''=a+a' $$ y $$ b''=b+b' $$.  
   Por lo tanto, $$ u+v \in H $$.

3. **Cerrado bajo la multiplicación escalar:**  
   Sea $$ u = (a-b,\,2b+a,\,a,\,0) \in H $$ y sea $$ \lambda \in \mathbb{R} $$.  
   Entonces:
   $$
   \lambda u = (\lambda(a-b),\;\lambda(2b+a),\;\lambda a,\;0).
   $$
   Notar que:
   $$
   \lambda u = \bigl[(\lambda a)-(\lambda b),\;2(\lambda b)+(\lambda a),\;\lambda a,\;0\bigr],
   $$
   es decir, tiene la forma $$ (a'-b',\;2b'+a',\;a',\;0) $$ con $$ a'=\lambda a $$ y $$ b'=\lambda b $$.  
   Así, $$ \lambda u \in H $$.

Dado que $$ H $$ cumple las tres propiedades (contiene al vector cero, es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar), se concluye que $$ H $$ es un subespacio de $$ \mathbb{R}^{4} $$.

---

**b) Encontrar una base para $$ H $$:**

Observamos que cualquier vector $$ (a-b,\,2b+a,\,a,\,0) \in H $$ puede reescribirse como:
$$
(a-b,\,2b+a,\,a,\,0) = a\,(1,\,1,\,1,\,0) + b\,(-1,\,2,\,0,\,0).
$$
Por lo tanto, los vectores
$$
v_{1} = (1,\,1,\,1,\,0) \quad \text{y} \quad v_{2} = (-1,\,2,\,0,\,0)
$$
generan $$ H $$.

Para ver que son linealmente independientes, supongamos que existen escalares $$ \lambda $$ y $$ \mu $$ tales que:
$$
\lambda\,(1,\,1,\,1,\,0) + \mu\,(-1,\,2,\,0,\,0) = (0,\,0,\,0,\,0).
$$
Esto implica el siguiente sistema:
$$
\begin{cases}
\lambda - \mu = 0, \
\lambda + 2\mu = 0, \
\lambda = 0, \
0 = 0.
\end{cases}
$$
De la tercera ecuación, se tiene $$ \lambda = 0 $$. Entonces, de la primera ecuación, $$ -\mu = 0 $$ y se sigue que $$ \mu=0 $$.  
Por lo tanto, $$ v_{1} $$ y $$ v_{2} $$ son linealmente independientes, y concluye que:
$$
\{(1,\,1,\,1,\,0),\, (-1,\,2,\,0,\,0)\}
$$
es una base para $$ H $$.

---

**c) Determinar la dimensión de $$ H $$:**

Dado que la base encontrada para $$ H $$ consta de 2 vectores linealmente independientes, la dimensión de $$ H $$ es:
$$
\dim H = 2.
$$
**a) $$ H $$ es un subespacio de $$ \mathbb{R}^{4} $$ porque contiene al vector cero, es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.** **b) Una base para $$ H $$ es $$ \{(1,1,1,0),\, (-1,2,0,0)\} $$.** **c) La dimensión de $$ H $$ es 2.**

15 puntos Considere el conjunto
a) 6 puntos Muestre que es un subespacio de .
b) 6 puntos Encuentre una base para .
c) 3 puntos Determine la dimensión de .

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