Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: A $$ =\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array} ight] $$

Question

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: A $$ =\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array}ight] $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular o determinante da matriz $$ A $$ pelo método de Laplace, vamos expandir o determinante em relação a uma linha ou coluna. Neste caso, vamos escolher a primeira linha para a expansão.

A matriz $$ A $$ é:

$$
A = \begin{bmatrix}
-2 & 3 & 1 & -1 \
0 & 1 & 2 & 3 \
1 & -1 & 1 & -2 \
4 & -3 & 5 & 1
\end{bmatrix}
$$

O determinante $$ \text{det}(A) $$ pode ser calculado como:

$$
\text{det}(A) = a_{11} \cdot \text{det}(A_{11}) - a_{12} \cdot \text{det}(A_{12}) + a_{13} \cdot \text{det}(A_{13}) - a_{14} \cdot \text{det}(A_{14})
$$

onde $$ A_{ij} $$ é a matriz obtida ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Vamos calcular os determinantes das matrizes menores:

1. Para $$ a_{11} = -2 $$:
   $$
   A_{11} = \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \
   -1 & 1 & -2 \
   -3 & 5 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

2. Para $$ a_{12} = 3 $$:
   $$
   A_{12} = \begin{bmatrix}
   0 & 2 & 3 \
   1 & 1 & -2 \
   4 & 5 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

3. Para $$ a_{13} = 1 $$:
   $$
   A_{13} = \begin{bmatrix}
   0 & 1 & 3 \
   1 & -1 & -2 \
   4 & -3 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

4. Para $$ a_{14} = -1 $$:
   $$
   A_{14} = \begin{bmatrix}
   0 & 1 & 2 \
   1 & -1 & 1 \
   4 & -3 & 5
   \end{bmatrix}
   $$

Agora, precisamos calcular os determinantes das matrizes $$ A_{11} $$, $$ A_{12} $$, $$ A_{13} $$ e $$ A_{14} $$. Vamos calcular esses determinantes.
Parece que houve um erro ao tentar calcular os determinantes das matrizes menores. Vamos calcular os determinantes manualmente.

### 1. Determinante de $$ A_{11} $$

$$
A_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
-1 & 1 & -2 \
-3 & 5 & 1
\end{bmatrix}
$$

O determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a fórmula de Laplace. Usando a regra de Sarrus:

$$
\text{det}(A_{11}) = 1(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 5) - 2(-1 \cdot 1 - (-2)(-3)) + 3(-1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3))
$$

Calculando cada parte:

1. $$ 1(1 + 10) = 11 $$
2. $$ -2(-1 - 6) = -2(-7) = 14 $$
3. $$ 3(-5 + 3) = 3(-2) = -6 $$

Portanto:

$$
\text{det}(A_{11}) = 11 + 14 - 6 = 19
$$

### 2. Determinante de $$ A_{12} $$

$$
A_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 2 & 3 \
1 & 1 & -2 \
4 & 5 & 1
\end{bmatrix}
$$

Usando a regra de Sarrus:

$$
\text{det}(A_{12}) = 0 + 2(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 5) + 3(1 \cdot 5 - 4 \cdot (-2))
$$

Calculando:

1. $$ 2(1 + 10) = 22 $$
2. $$ 3(5 + 8) = 39 $$

Portanto:

$$
\text{det}(A_{12}) = 0 + 22 + 39 = 61
$$

### 3. Determinante de $$ A_{13} $$

$$
A_{13} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 3 \
1 & -1 & -2 \
4 & -3 & 1
\end{bmatrix}
$$

Usando a regra de Sarrus:

$$
\text{det}(A_{13}) = 0 + 1(1 \cdot 1 - (-2)(-3)) + 3(1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1))
$$

Calculando:

1. $$ 1(1 - 6) = -5 $$
2. $$ 3(-3 + 4) = 3(1) = 3 $$

Portanto:

$$
\text{det}(A_{13}) = 0 - 5 + 3 = -2
$$

### 4. Determinante de $$ A_{14} $$

$$
A_{14} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \
1 & -1 & 1 \
4 & -3 & 5
\end{bmatrix}
$$

Usando a regra de Sarrus:

$$
\text{det}(A_{14}) = 0 + 1(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) + 2(1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1))
$$

Calculando:

1. $$ 1(5 + 3) = 8 $$
2. $$ 2(-3 + 4) = 2(1) = 2 $$

Portanto:

$$
\text{det}(A_{14}) = 0 + 8 + 2 = 10
$$

### Cálculo Final do Determinante de $$ A $$

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do determinante:

$$
\text{det}(A) = -2 \cdot 19 - 3 \cdot 61 + 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 10
$$

Calculando:

1. $$ -2 \cdot 19 = -38 $$
2. $$ -3 \cdot 61 = -183 $$
3. $$ 1 \cdot (-2) = -2 $$
4. $$ -(-1) \cdot 10 = 10 $$

Portanto:

$$
\text{det}(A) = -38 - 183 - 2 + 10 = -213
$$

Assim, o determinante da matriz $$ A $$ é $$ -213 $$.
O determinante da matriz $$ A $$ é $$ -213 $$.

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace
Dada a matriz:
A

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Determinante de

2. Determinante de

3. Determinante de

4. Determinante de

Cálculo Final do Determinante de

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions