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Exercice 2. Une machine agricols vaut à rachat 70000s. Celte machire se defrécie de sorte qu'ì chaque anice hi valeur de hanclane esi de \( 85 \% \) do ha vakur de rannée pricidente. 1. Trower une fonction expriment h valur de l machine aprets t amber 2. Que vaulra celte voilure dans 4 ar ? (3) A qual moment vaudra-t-elle \( 25 \% \) de sa valeur initale? 4. Trourver une fonction donnant le montart total de ha deprecaion de cette voilure apres 1 années. 5. Quel sera le montant total de ho deprécintion de cente witure apris 5 ma?

Ask by Lane Carlson. in Jamaica
Mar 14,2025

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1. La valeur de la machine après \( t \) ans est donnée par \( V(t) = 70000 \times (0.85)^t \). 2. Après 4 ans, la valeur est environ 36540. 3. La machine atteindra 25% de sa valeur initiale environ 8.53 ans après l'achat. 4. Le montant total de la dépréciation après \( t \) ans est \( D(t) = 70000 \times (1 - (0.85)^t) \). 5. Après 5 ans, le montant total de la dépréciation est environ 38941.

Solución

1. Soit \( V(t) \) la valeur de la machine après \( t \) années. Comme la machine se déprécie à \( 85\% \) de sa valeur de l’année précédente, on a : \[ V(t)=70000\cdot (0.85)^t. \] 2. Pour \( t=4 \) ans, la valeur est : \[ V(4)=70000\cdot (0.85)^4. \] Calculons : \[ (0.85)^4\approx0.5220, \] donc \[ V(4)\approx70000\cdot0.5220\approx36540. \] 3. On cherche le moment où la machine vaut \( 25\% \) de sa valeur initiale, soit : \[ 70000\cdot (0.85)^t=0.25\cdot70000. \] En simplifiant par 70000 : \[ (0.85)^t=0.25. \] En prenant le logarithme de chaque côté, on trouve : \[ t=\frac{\ln(0.25)}{\ln(0.85)}. \] En calculant numériquement : \[ t\approx\frac{-1.3863}{-0.1625}\approx8.53. \] La machine atteindra \( 25\% \) de sa valeur initiale au bout d'environ \( 8.53 \) années. 4. Le montant total de la dépréciation après \( t \) années est la différence entre la valeur initiale et la valeur après \( t \) années. La fonction de la dépréciation totale est donc : \[ D(t)=70000-70000\cdot(0.85)^t=70000\cdot\left(1-0.85^t\right). \] 5. Pour \( t=5 \) ans, le montant total de la dépréciation est : \[ D(5)=70000\cdot\left(1-0.85^5\right). \] Calculons : \[ (0.85)^5\approx0.4437, \] alors \[ D(5)\approx70000\cdot(1-0.4437)=70000\cdot0.5563\approx38941. \]

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Beyond the Answer

Pour résoudre ces problèmes, abordons chaque question étape par étape. 1. La fonction qui exprime la valeur de la machine après \( t \) années, en tenant compte de la dépréciation, est \( V(t) = 70000 \times (0.85)^t \). 2. Pour calculer la valeur dans 4 ans, substituez \( t = 4 \) dans la fonction : \( V(4) = 70000 \times (0.85)^4 \approx 70000 \times 0.5026 \approx 35182 \), donc la valeur de la machine sera d'environ 35 182 s. 3. Pour savoir quand la machine vaudra \( 25 \% \) de sa valeur initiale \( (70000 \times 0.25 = 17500) \), résolvons l'équation : \( 70000 \times (0.85)^t = 17500 \) Cela se simplifie à \( (0.85)^t = 0.25 \). En prenant le logarithme, on trouve \( t \approx 8,36 \) ans, donc la machine atteindra cette valeur en un peu plus de 8 ans. 4. Pour trouver le montant total de la dépréciation après 1 an, on calcule \( 70000 - V(1) \) : \( V(1) = 70000 \times (0.85)^1 = 59500 \), donc \( 70000 - 59500 = 10500 \). 5. En répétant le calcul pour 5 ans, nous avons : \( V(5) = 70000 \times (0.85)^5 \approx 70000 \times 0.4437 \approx 31059 \), alors la dépréciation totale est \( 70000 - 31059 \approx 38941 \). En résumé : 1. Fonction : \( V(t) = 70000 \times (0.85)^t \) 2. Valeur dans 4 ans : 35 182 s 3. Moment de 25 % de valeur : environ 8,36 ans 4. Dépréciation après 1 an : 10 500 s 5. Dépréciation après 5 ans : 38 941 s

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