Aproxime la integral definida $$ \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x $$ mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con $$ \mathrm{n}=6 $$

Question

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Dividimos el intervalo $$[1,5]$$ en $$ n=6 $$ subintervalos. El ancho de cada subintervalo es

$$
\Delta x=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
$$

Los puntos de partición son

$$
x_{0}=1,\quad x_{1}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3},\quad x_{2}=1+2\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{3},
$$
$$
x_{3}=1+3\left(\frac{2}{3}\right)=3,\quad x_{4}=1+4\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{11}{3},\quad x_{5}=1+5\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{13}{3},\quad x_{6}=5.
$$

La función a integrar es

$$
f(x)=\frac{5x^2}{\sqrt{x}}=5x^{2-\frac{1}{2}}=5x^{\frac{3}{2}}.
$$

Utilizando la suma de Riemann por punto izquierdo, la aproximación es

$$
S=\Delta x\sum_{i=0}^{5}f(x_{i}),
$$
es decir,
$$
S=\frac{2}{3}\Bigl\{f(1)+f\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+f\bigl(\tfrac{7}{3}\bigr)+f(3)+f\bigl(\tfrac{11}{3}\bigr)+f\bigl(\tfrac{13}{3}\bigr)\Bigr\}.
$$

Calculamos cada término:

1. $$ f(1)=5\cdot1^{\frac{3}{2}}=5. $$

2. $$ f\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)=5\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}. $$

3. $$ f\Bigl(\tfrac{7}{3}\Bigr)=5\Bigl(\tfrac{7}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}. $$

4. $$ f(3)=5\cdot3^{\frac{3}{2}}. $$

5. $$ f\Bigl(\tfrac{11}{3}\Bigr)=5\Bigl(\tfrac{11}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}. $$

6. $$ f\Bigl(\tfrac{13}{3}\Bigr)=5\Bigl(\tfrac{13}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}. $$

Para obtener un valor aproximado, evaluamos numéricamente cada término:

1. $$ f(1)=5. $$

2. Para $$ x=\tfrac{5}{3}\approx1.6667 $$:

$$\sqrt{\tfrac{5}{3}}\approx1.291,$$ luego

$$\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}\approx(1.291)^3\approx2.15,$$ y

$$ f\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)\approx5\cdot2.15=10.75. $$

3. Para $$ x=\tfrac{7}{3}\approx2.3333 $$:

$$\sqrt{\tfrac{7}{3}}\approx1.5275,$$ luego

$$\Bigl(\tfrac{7}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}\approx(1.5275)^3\approx3.57,$$ y

$$ f\Bigl(\tfrac{7}{3}\Bigr)\approx5\cdot3.57=17.85. $$

4. Para $$ x=3 $$:

$$\sqrt{3}\approx1.7321,$$ luego

$$3^{\frac{3}{2}}= (1.7321)^3\approx5.196,$$ y

$$ f(3)\approx5\cdot5.196=25.98. $$

5. Para $$ x=\tfrac{11}{3}\approx3.6667 $$:

$$\sqrt{\tfrac{11}{3}}\approx1.9149,$$ luego

$$\Bigl(\tfrac{11}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}\approx(1.9149)^3\approx7.01,$$ y

$$ f\Bigl(\tfrac{11}{3}\Bigr)\approx5\cdot7.01=35.05. $$

6. Para $$ x=\tfrac{13}{3}\approx4.3333 $$:

$$\sqrt{\tfrac{13}{3}}\approx2.0817,$$ luego

$$\Bigl(\tfrac{13}{3}\Bigr)^{\frac{3}{2}}\approx(2.0817)^3\approx9.01,$$ y

$$ f\Bigl(\tfrac{13}{3}\Bigr)\approx5\cdot9.01=45.05. $$

Sumamos los valores:

$$
\begin{aligned}
\text{Suma} &= 5 + 10.75 + 17.85 + 25.98 + 35.05 + 45.05 \
&\approx 139.68.
\end{aligned}
$$

Multiplicamos por $$\Delta x=\frac{2}{3}$$:

$$
S\approx\frac{2}{3}\times139.68\approx93.12.
$$

Por lo tanto, la aproximación de la integral mediante la suma de Riemann por punto izquierdo con $$ n=6 $$ es aproximadamente

$$
\boxed{93.12}.
$$
La aproximación de la integral $$ \int_{1}^{5} \frac{5x^{2}}{\sqrt{x}} dx $$ usando la suma de Riemann por punto izquierdo con $$ n=6 $$ es aproximadamente **93.12**.

Aproxime la integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x \) mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con \( \mathrm{n}=6 \)

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