2.- Si el área de un rectángulo aumenta en un $$ 80 \% $$. ¿Cuál de las siguientes alternativas puede ser una opción en el aumento en porcentaje de cada lado del rectángulo para la situación mencionada? A) Un lado aumenta en $$ 20 \% $$ y otro en $$ 50 \% $$. B) Un lado aumenta en $$ 50 \% $$ y otro en $$ 30 \% $$. C) Un lado aumenta en $$ 40 \% $$ y otro en $$ 40 \% $$. D) Cada lado en $$ 80 \% $$.

Question

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Sea un rectángulo cuyas dimensiones son $$ a $$ y $$ b $$. Si aumentamos un lado en un $$ p\% $$ y el otro en un $$ q\% $$, las nuevas dimensiones serán:
$$
a' = a\left(1 + \frac{p}{100}\right) \quad \text{y} \quad b' = b\left(1 + \frac{q}{100}\right).
$$

El área original es:
$$
A = ab,
$$
y el nuevo área será:
$$
A' = a'b' = ab \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 + \frac{q}{100}\right).
$$

Según el enunciado, el área aumenta en un $$80\%$$, por lo que:
$$
A' = 1.80 \, ab.
$$
De aquí se tiene:
$$
\left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 + \frac{q}{100}\right) = 1.80.
$$

Procedamos a evaluar cada alternativa:

1. **Opción A: Un lado aumenta en $$ 20\% $$ y otro en $$ 50\% $$.**

Entonces:
   $$
   \left(1 + \frac{20}{100}\right) \left(1 + \frac{50}{100}\right) = 1.20 \times 1.50 = 1.80.
   $$
   Esta opción cumple con la condición.

2. **Opción B: Un lado aumenta en $$ 50\% $$ y otro en $$ 30\% $$.**

Entonces:
   $$
   \left(1 + \frac{50}{100}\right) \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 1.50 \times 1.30 = 1.95.
   $$
   Esto supera el $$80\%$$ de aumento en el área.

3. **Opción C: Un lado aumenta en $$ 40\% $$ y otro en $$ 40\% $$.**

Entonces:
   $$
   \left(1 + \frac{40}{100}\right) \left(1 + \frac{40}{100}\right) = 1.40 \times 1.40 = 1.96.
   $$
   Tampoco se cumple la condición.

4. **Opción D: Cada lado en $$ 80\% $$.**

Entonces:
   $$
   \left(1 + \frac{80}{100}\right) \left(1 + \frac{80}{100}\right) = 1.80 \times 1.80 = 3.24.
   $$
   Este aumento es demasiado alto.

La opción que cumple la condición es la **Opción A**.
La opción correcta es A) Un lado aumenta en $$ 20\% $$ y otro en $$ 50\% $$.

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