La siguiente ecuación presenta el crecimiento poblacional en una ciudad \[ P(t)=P_{o} \times e^{r t} \] Donde \( t \) es el tiempo en años, \( P_{0} \) es la población inicial, \( r \) es una constante y \( P(t) \) es la població en el año \( t \). Actualmente, la población de la ciudad es de 250.000 habitantes, si se sabe que dentr de 5 años la población serà de 500.000 habitantes, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular de manera correcta el valor de \( r \) ? A. B. C. D. \[ r=\frac{\ln (2)}{5} \quad r=\ln (10) \] \[ r=\ln \left(\frac{2}{5}\right) \] \[ r=\frac{1}{\ln (\cos )} \]

Para determinar el valor de \( r \) en la ecuación del crecimiento poblacional, debemos resolver la ecuación usando los valores dados. Primero, sabemos que \( P(0) = 250,000 \) y \( P(5) = 500,000 \). Esto nos lleva a plantear la ecuación: \[ 500,000 = 250,000 \times e^{r \cdot 5} \] Dividimos ambos lados por 250,000: \[ 2 = e^{5r} \] Tomamos el logaritmo natural en ambos lados: \[ \ln(2) = 5r \] Por lo tanto, isolando \( r \), tenemos: \[ r = \frac{\ln(2)}{5} \] Por lo que la opción correcta para calcular \( r \) es la primera expresión. Al aplicar la ecuación de crecimiento poblacional, cobramos importancia en la comprensión del efecto del tiempo y crecimiento exponencial sobre una población. Esto es un concepto clave en demografía, biología, y estudios de ciudades, donde la predicción de población puede ayudar en la planificación familiar, infraestructura y recursos. Si te interesa profundizar en el tema del crecimiento poblacional, hay muchas teorías fascinantes al respecto. Por ejemplo, la teoría de la transición demográfica explica cómo las sociedades pasan de altas tasas de natalidad y mortalidad a tasas bajas, afectando el tamaño de la población. También puedes explorar estudios de casos específicos en ciudades que han experimentado crecimiento acelerado para ver la práctica en acción. ¡Es asombroso cómo la matemática se aplica en la vida real!