f. Si: $$ \log _{a} 2=0,6309 $$ $$ \log _{a} 5=1,4650 $$ Hallar: $$ \log _{a}[5 a / \sqrt[3]{2}] $$

Question

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1. Empezamos expresando el logaritmo del producto cociente como suma y resta de logaritmos:
   
   $$
   \log_{a}\left(\frac{5\,a}{\sqrt[3]{2}}\right) = \log_{a}5 + \log_{a}a - \log_{a}\left(\sqrt[3]{2}\right)
   $$
   
2. Recordamos que:
   
   $$
   \log_{a}a=1
   $$
   
   y que la raíz cúbica se puede expresar como potencia:
   
   $$
   \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}
   $$
   
   Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
   
   $$
   \log_{a}\left(2^{\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{3}\,\log_{a}2
   $$
   
3. Sustituyendo en la expresión original:
   
   $$
   \log_{a}\left(\frac{5\,a}{\sqrt[3]{2}}\right)=\log_{a}5+1-\frac{1}{3}\,\log_{a}2
   $$
   
4. Se nos da que:
   
   $$
   \log_{a}2=0.6309 \quad \text{y} \quad \log_{a}5=1.4650
   $$
   
5. Sustituyendo estos valores:
   
   $$
   \log_{a}\left(\frac{5\,a}{\sqrt[3]{2}}\right)=1.4650 + 1 - \frac{1}{3}(0.6309)
   $$
   
6. Calculamos el término restante:
   
   $$
   \frac{1}{3}(0.6309)=0.2103
   $$
   
7. Finalmente, la solución es:
   
   $$
   1.4650 + 1 - 0.2103 \approx 2.2547
   $$
   
Por lo tanto,

$$
\log_{a}\left(\frac{5\,a}{\sqrt[3]{2}}\right) \approx 2.2547
$$
$$ \log_{a}\left(\frac{5\,a}{\sqrt[3]{2}}\right) \approx 2.2547 $$

f. Si: \( \log _{a} 2=0,6309 \) \( \log _{a} 5=1,4650 \) Hallar: \( \log _{a}[5 a / \sqrt[3]{2}] \)

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