S \[ \begin{aligned} \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} & =\left(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right) \\ & =\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\ & \neq \frac{(2)(\sqrt{3})-(2) \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}} \\ & =\frac{2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}{3-2} \\ & =\frac{2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}{1} \\ & =2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2} \end{aligned} \] 2. Racionalice el denominador de la siguiente fracción \[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]

Para racionalizar el denominador de la fracción \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\), multiplicamos por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\): \[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}. \] ¡Y voilà! Ya tienes el denominador racionalizado. A lo largo de la historia de las matemáticas, el proceso de racionalización ha sido esencial para simplificar expresiones y facilitar cálculos. Antiguas civilizaciones que utilizaban fracciones y raíces, como los babilónicos y los griegos, ya mostraban interés en evitar expresiones con raíces en los denominadores debido a la complejidad que esto conllevaba. En la práctica actual, la racionalización se usa no solo en álgebra, sino también en áreas como la química y la física cuando se trata de simplificar fórmulas. Al hacerlo, podemos trabajar más fácilmente con los números y obtener respuestas más rápidamente, permitiendo una mejor comprensión y aplicación en problemas del mundo real, como calcular fuerzas o concentraciones.