re: Quico femenda Garnica Guatila (Valor: 1.5) Fluidos con viscosidades $$ \mu_{1}=0,15 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}, \mu_{2}=0,5 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2} $$ y $$ \mu_{3}=0,2 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2} $$ se encuentran entre dos placas (cada una de $$ 1 \mathrm{~m}^{2} $$ de área). Los espesores son $$ \mathrm{h}_{1}=0,5 \mathrm{~mm}, \mathrm{~h}=0,25 \mathrm{~mm} $$ y ha $$ =0,2 \mathrm{~mm} $$, respectivamente. Determine la velocidad constante V de la placa superior y las velocidades en las dos interfaces debidas a una fuerza $$ \mathrm{F}=100 \mathrm{~N} $$, si la placa inferior se mantiene fija. Dibuje la distribución de velocidades

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver este problema, utilizaremos la ley de viscosidad de Newton y el principio de equilibrio de fuerzas. Dado que tenemos tres fluidos con diferentes viscosidades y espesores, podemos aplicar la ecuación de la viscosidad para cada capa.

### Datos conocidos:
- Viscosidades:
  - $$ \mu_{1} = 0.15 \, \text{N} \cdot \text{s/m}^{2} $$
  - $$ \mu_{2} = 0.5 \, \text{N} \cdot \text{s/m}^{2} $$
  - $$ \mu_{3} = 0.2 \, \text{N} \cdot \text{s/m}^{2} $$

- Espesores:
  - $$ h_{1} = 0.5 \, \text{mm} = 0.0005 \, \text{m} $$
  - $$ h_{2} = 0.25 \, \text{mm} = 0.00025 \, \text{m} $$
  - $$ h_{3} = 0.2 \, \text{mm} = 0.0002 \, \text{m} $$

- Fuerza aplicada:
  - $$ F = 100 \, \text{N} $$

### Paso 1: Calcular la presión en cada interfaz

La relación entre la fuerza, la viscosidad y la velocidad se puede expresar como:

$$
F = \mu \cdot A \cdot \frac{V}{h}
$$

Donde:
- $$ F $$ es la fuerza aplicada,
- $$ \mu $$ es la viscosidad,
- $$ A $$ es el área,
- $$ V $$ es la velocidad,
- $$ h $$ es el espesor.

### Paso 2: Calcular la velocidad en cada interfaz

Para cada capa, podemos escribir la ecuación de la viscosidad:

1. Para el fluido 1:
   $$
   F = \mu_{1} \cdot A \cdot \frac{V_{1}}{h_{1}}
   $$

2. Para el fluido 2:
   $$
   F = \mu_{2} \cdot A \cdot \frac{V_{2} - V_{1}}{h_{2}}
   $$

3. Para el fluido 3:
   $$
   F = \mu_{3} \cdot A \cdot \frac{V_{3} - V_{2}}{h_{3}}
   $$

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Dado que la placa inferior se mantiene fija, $$ V_{3} = 0 $$. Ahora, podemos expresar las velocidades en términos de $$ V_{1} $$ y resolver el sistema.

Vamos a plantear las ecuaciones y resolverlas.

1. De la primera ecuación:
   $$
   V_{1} = \frac{F \cdot h_{1}}{\mu_{1} \cdot A}
   $$

2. De la segunda ecuación:
   $$
   V_{2} = V_{1} + \frac{F \cdot h_{2}}{\mu_{2} \cdot A}
   $$

3. De la tercera ecuación:
   $$
   0 = V_{2} + \frac{F \cdot h_{3}}{\mu_{3} \cdot A}
   $$

Ahora, sustituimos $$ V_{2} $$ en la tercera ecuación y resolvemos para $$ V_{1} $$.

### Paso 4: Calcular las velocidades

Primero, calculamos $$ V_{1} $$ usando la primera ecuación. Luego, sustituimos $$ V_{1} $$ en la segunda ecuación para encontrar $$ V_{2} $$.

Vamos a realizar los cálculos.

#### Cálculo de $$ V_{1} $$

$$
V_{1} = \frac{F \cdot h_{1}}{\mu_{1} \cdot A}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
V_{1} = \frac{100 \cdot 0.0005}{0.15 \cdot 1}
$$

#### Cálculo de $$ V_{2} $$

$$
V_{2} = V_{1} + \frac{F \cdot h_{2}}{\mu_{2} \cdot A}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
V_{2} = V_{1} + \frac{100 \cdot 0.00025}{0.5 \cdot 1}
$$

#### Cálculo de $$ V_{3} $$

$$
0 = V_{2} + \frac{F \cdot h_{3}}{\mu_{3} \cdot A}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
0 = V_{2} + \frac{100 \cdot 0.0002}{0.2 \cdot 1}
$$

Ahora, procederé a calcular $$ V_{1} $$, $$ V_{2} $$ y $$ V_{3} $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(100\times 0.0005\right)}{\left(0.15\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{100\times 0.0005}{0.15\times 1}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{0.05}{0.15\times 1}$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{0.05}{0.15}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{1}{20}}{\frac{3}{20}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{1}{20}\times \frac{20}{3}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{1}{3}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{1}{3}$$
Calculate or simplify the expression $$ (100 * 0.00025) / (0.5 * 1) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(100\times 0.00025\right)}{\left(0.5\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{100\times 0.00025}{0.5\times 1}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{0.025}{0.5\times 1}$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{0.025}{0.5}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{2}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{1}{40}\times 2$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{1}{20}\times 1$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{1}{20}$$
Calculate or simplify the expression $$ (100 * 0.0002) / (0.2 * 1) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(100\times 0.0002\right)}{\left(0.2\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{100\times 0.0002}{0.2\times 1}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{0.02}{0.2\times 1}$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{0.02}{0.2}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{1}{50}}{\frac{1}{5}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{1}{50}\times 5$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{1}{10}\times 1$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{1}{10}$$
### Resultados de los cálculos

1. **Velocidad $$ V_{1} $$**:
   $$
   V_{1} = 0.333 \, \text{m/s}
   $$

2. **Velocidad $$ V_{2} $$**:
   $$
   V_{2} = V_{1} + 0.05 = 0.333 + 0.05 = 0.383 \, \text{m/s}
   $$

3. **Velocidad $$ V_{3} $$**:
   $$
   0 = V_{2} + 0.1 \implies V_{2} = -0.1 \implies V_{3} = 0.1 \, \text{m/s}
   $$

### Resumen de las velocidades

- $$ V_{1} = 0.333 \, \text{m/s} $$
- $$ V_{2} = 0.383 \, \text{m/s} $$
- $$ V_{3} = 0 \, \text{m/s} $$ (la placa inferior se mantiene fija)

### Distribución de velocidades

La distribución de velocidades entre las tres capas de fluido se puede representar de la siguiente manera:

- En la capa 1 (fluido 1), la velocidad es $$ V_{1} = 0.333 \, \text{m/s} $$.
- En la capa 2 (fluido 2), la velocidad es $$ V_{2} = 0.383 \, \text{m/s} $$.
- En la capa 3 (fluido 3), la velocidad es $$ V_{3} = 0 \, \text{m/s} $$.

### Gráfico de la distribución de velocidades

Para visualizar la distribución de velocidades, se puede dibujar un gráfico donde el eje vertical representa la velocidad y el eje horizontal representa la posición a través de las capas de fluido. La velocidad aumentará desde la placa inferior (0 m/s) hasta la placa superior (0.383 m/s).

Si necesitas un gráfico específico, por favor indícalo y puedo generarlo.
La velocidad constante de la placa superior es de 0.383 m/s. Las velocidades en las dos interfaces son 0.333 m/s y 0.383 m/s respectivamente.

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