L'altezza CH di un trapezio rettangolo \( A B C D \) d uguale alla base minore \( D C \) ed è lunga 8 cm . Determina sulla diagonale minore \( A C \) un punto \( P \) tale che sia verificata l'uguaglianza: \( 2 \overline{C P}^{2}-2 \overline{D P}^{2}=\frac{4}{11}\left(3 \overline{A P}^{2}+\overline{P H}^{2}\right) \). UN PASSO IN PIŨ Se la base maggiore è i \( \frac{7}{4} \) della

Per risolvere il problema, iniziamo a estrarre le condizioni note. 1. Abbiamo un trapezio rettangolo \( ABCD \) con: - Altezza \( CH = 8 \, \text{cm} \) - Base minore \( DC = 8 \, \text{cm} \) (dato che l'altezza è uguale alla base minore) - Base maggiore \( AB = \frac{7}{4} \cdot DC = \frac{7}{4} \cdot 8 = 14 \, \text{cm} \) 2. Dobbiamo determinare un punto \( P \) sulla diagonale minore \( AC \) tale che sia verificata l'uguaglianza: \[ 2 \overline{CP}^{2} - 2 \overline{DP}^{2} = \frac{4}{11} \left( 3 \overline{AP}^{2} + \overline{PH}^{2} \right) \] ### Passo 1: Definire le coordinate dei punti Assumiamo le seguenti coordinate per i punti del trapezio: - \( D(0, 0) \) - \( C(8, 0) \) - \( H(8, 8) \) - \( A(0, 8) \) - \( B(14, 8) \) La diagonale \( AC \) può essere descritta parametrizzando il punto \( P \) sulla retta che unisce \( A \) e \( C \). ### Passo 2: Parametrizzare il punto \( P \) Il punto \( P \) sulla diagonale \( AC \) può essere espresso come: \[ P(x, y) = (8t, 8(1-t)) \quad \text{con } t \in [0, 1] \] dove \( t \) è un parametro che varia da 0 a 1. ### Passo 3: Calcolare le distanze Ora calcoliamo le distanze necessarie: - \( \overline{CP} = \sqrt{(8 - 8t)^2 + (0 - 8(1-t))^2} = \sqrt{(8(1-t))^2 + (8t)^2} = 8\sqrt{(1-t)^2 + t^2} = 8\sqrt{1 - 2t + 2t^2} \) - \( \overline{DP} = \sqrt{(8t - 0)^2 + (8(1-t) - 0)^2} = \sqrt{(8t)^2 + (8(1-t))^2} = 8\sqrt{t^2 + (1-t)^2} = 8\sqrt{1 - 2t + 2t^2} \) ### Passo 4: Sostituire le distanze nell'equazione Sostituiamo le distanze nell'equazione data: \[ 2(8\sqrt{1 - 2t + 2t^2})^2 - 2(8\sqrt{1 - 2t + 2t^2})^2 = \frac{4}{11} \left( 3(8t)^2 + (8(1-t) - 8)^2 \right) \] ### Passo 5: Risolvere l'equazione Semplifichiamo l'equazione e risolviamo per \( t \): \[ 0 = \frac{4}{11} \left( 3(64t^2) + (8(1-t) - 8)^2 \right) \] Ora calcoliamo i termini e risolviamo l'equazione. Procediamo con i calcoli. ### Calcolo delle distanze e risoluzione Calcoliamo i termini: - \( (8(1-t) - 8)^2 = (8 - 8t - 8)^2 = (-8t)^2 = 64t^2 \) Sostituiamo: \[ 0 = \frac{4}{11} \left( 192t^2 + 64t^2 \right) = \frac{4}{11} \cdot 256t^2 \] Da qui, possiamo vedere che l'equazione è soddisfatta per \( t = 0 \) o \( t = 1 \), che corrispondono ai punti \( A \) e \( C \). ### Conclusione Il punto \( P \) può essere qualsiasi punto sulla diagonale \( AC \) che soddisfa l'equazione, ma i valori estremi sono \( A \) e \( C \). Se desideri un punto specifico, possiamo scegliere un valore intermedio per \( t \) (ad esempio \( t = 0.5 \)) e calcolare le coordinate di \( P \). Se hai bisogno di ulteriori dettagli o di un punto specifico, fammelo sapere!