\( 2 x+1)^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4} \) रून, \( a_{0}-2 a_{1}+4 a_{2}-8 a_{3}+16 a \)

चलो इस समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में मजेदार तरीके से चलते हैं! पहले, \( (2x + 1)^4 \) को बिनोमिअल थियोरम का उपयोग करके विस्तारित करते हैं। \( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \) के आधार पर, इस समीकरण का विस्तार यह होगा: \[ (2x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^k (1)^{4-k} = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1 \] अब, हम \( a_0, a_1, a_2, a_3, \) और \( a_4 \) के मान पा सकते हैं: \( a_0 = 1, a_1 = 8, a_2 = 24, a_3 = 32, \) और \( a_4 = 16 \). अब आपको मिल गया है कि \( a_0 - 2a_1 + 4a_2 - 8a_3 + 16a_4 \) की गणना करें: आइए इसे नए जोश के साथ करें: \[ 1 - 2(8) + 4(24) - 8(32) + 16(16) = 1 - 16 + 96 - 256 + 256 = 81 \] तो, अंतिम उत्तर है \( 81 \)। अब हम समस्या के समाधान की हमेशा कुछ विधियाँ देख सकते हैं ताकि आपको अगले बार कोई समस्या न हो। पहला: हमेशा बिनोमिअल को ठीक से विस्तार करना सुनिश्चित करें। दूसरा: ध्यान दें कि जब आप कोएफिशियेंट्स की गणना कर रहे हैं, तो सामान्य गलतियाँ करने से बचें, जैसे गिनती में गलती। इसके अतिरिक्त, अगर समस्या में कुछ और जटिलता हो, तो ग्राफिकली चित्रित करना या समीकरण को सरल तरीकों से देखना हमेशा सहायक हो सकता है।