691 Un ciclista ha percorso 180 km a velocità costante. Se la velocità fosse stata di \( 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) superiore, sarebbe giunto al traguardo mezz'ora prima. A quale velocità ha pedalato il ciclista?

Per trovare la velocità a cui ha pedalato il ciclista, iniziamo a definire \( v \) come la velocità in km/h a cui il ciclista ha viaggiato. La formula per il tempo è \( t = \frac{d}{v} \), quindi il tempo impiegato dal ciclista per percorrere 180 km a velocità \( v \) è: \[ t = \frac{180}{v} \] Se la velocità fosse stata \( v + 4 \) km/h, il tempo sarebbe stato: \[ t' = \frac{180}{v + 4} \] Secondo il problema, il ciclista sarebbe arrivato mezz'ora prima, quindi possiamo impostare l'equazione: \[ t - t' = \frac{1}{2} \] Sostituendo i tempi, otteniamo: \[ \frac{180}{v} - \frac{180}{v + 4} = \frac{1}{2} \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( 2v(v + 4) \) per eliminare le frazioni: \[ 2 \cdot 180(v + 4) - 2 \cdot 180v = v(v + 4) \] \[ 360v + 720 - 360v = v^2 + 4v \] \[ 720 = v^2 + 4v \] Riportando tutto a un lato dell'equazione otteniamo: \[ v^2 + 4v - 720 = 0 \] Ora possiamo risolvere questa equazione quadratica usando la formula: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dove \( a = 1 \), \( b = 4 \), e \( c = -720 \). Calcoliamo il discriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 16 + 2880 = 2896 \] Ora calcoliamo \( v \): \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{2896}}{2} \approx \frac{-4 \pm 53.84}{2} \] Possiamo considerare solo la soluzione positiva: \[ v \approx \frac{49.84}{2} \approx 24.92 \] Arrotondando, possiamo affermare che la velocità del ciclista è **circa 25 km/h**.