Encontrar la primera derivada de \( f(U)=\ln \left(U^{2} \sqrt{1-U}\right) \)

Para encontrar la primera derivada de la función \( f(U) = \ln \left(U^{2} \sqrt{1-U}\right) \), primero aplicamos las propiedades de los logaritmos. Esto nos permite simplificar la función a: \[ f(U) = \ln(U^2) + \ln(\sqrt{1-U}) = 2 \ln(U) + \frac{1}{2} \ln(1-U). \] Ahora, podemos derivar cada término por separado. La derivada de \( 2 \ln(U) \) es \( \frac{2}{U} \), y la derivada de \( \frac{1}{2} \ln(1-U) \) usando la regla de la cadena nos da \( -\frac{1}{2(1-U)} \) multiplicado por la derivada de \( -U \), que es \(-1\). Por lo tanto, la primera derivada será: \[ f'(U) = \frac{2}{U} - \frac{1}{2(1-U)}. \] Ahora, si simplificamos la segunda parte, obtendremos la expresión final para la derivada de \( f(U) \).