$$ \text { resuelve } y=x^{\wedge} \operatorname{sen}(x) $$ Para resolver la ecuación $$ y=x^{\sin (x)} $$ podemos tomar logaritmos para facilitar la derivación.

Question

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Solve the equation by following steps:
- step0: Solution:
  $$y=x^{\sin\left(x\right)}$$
Para resolver la ecuación $$ y = x^{\sin(x)} $$, podemos tomar logaritmos para facilitar la derivación.

1. **Tomamos el logaritmo natural de ambos lados:**
   $$
   \ln(y) = \ln(x^{\sin(x)})
   $$

2. **Utilizamos la propiedad de los logaritmos:**
   $$
   \ln(y) = \sin(x) \cdot \ln(x)
   $$

Ahora tenemos la ecuación en forma logarítmica, que es más fácil de derivar.

3. **Derivamos ambos lados con respecto a $$ x $$:**
   - Usamos la regla del producto en el lado derecho:
   $$
   \frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}
   $$
   $$
   \frac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \ln(x)) = \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}
   $$

4. **Igualamos las derivadas:**
   $$
   \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}
   $$

5. **Despejamos $$ \frac{dy}{dx} $$:**
   $$
   \frac{dy}{dx} = y \left( \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)
   $$

6. **Sustituimos $$ y $$ de nuevo:**
   $$
   \frac{dy}{dx} = x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)
   $$

Así, hemos derivado la función $$ y = x^{\sin(x)} $$ y encontramos que:
$$
\frac{dy}{dx} = x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)
$$
Para resolver la ecuación $$ y = x^{\sin(x)} $$, toma el logaritmo natural de ambos lados y luego deriva con respecto a $$ x $$. La derivada es: $$ \frac{dy}{dx} = x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right) $$

\[ \text { resuelve } y=x^{\wedge} \operatorname{sen}(x) \] Para resolver la ecuación \( y=x^{\sin (x)} \) podemos tomar logaritmos para facilitar la derivación.

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