\[ A=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right] \] encontre uma matriz \( X \) tal que \( (2 A+X)^{t}=B^{t} C \).

Para resolver a equação \( (2 A + X)^t = B^t C \), começamos calculando \( 2A \) e depois a transposta das matrizes \( B \) e \( C \). Primeiro, calculemos \( 2A \): \[ 2A = 2 \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 4\end{array}\right]. \] Agora, vamos encontrar as transpostas das matrizes \( B \) e \( C \): \[ B^t = \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right], \] \[ C^t = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1\end{array}\right]. \] Em seguida, multiplicamos \( B^t \) e \( C \): \[ B^t C = \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right]. \] Realizando a multiplicação, obtemos: \[ B^t C = \left[\begin{array}{rr}1(-1) + 1(2) + (-1)(1) & 1(0) + 1(-1) + (-1)(-1) \\ -1(-1) + 0(2) + 1(1) & -1(0) + 0(-1) + 1(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\ 2 & -1\end{array}\right]. \] Agora, podemos escrever \( (2A + X) = B^t C \) como: \[ (2A + X)^t = \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\ 2 & -1\end{array}\right]. \] Portanto, devemos ter: \[ 2A + X = \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\ 2 & -1\end{array}\right]^t = \left[\begin{array}{rr}0 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right]. \] Agora, isolando \( X \), temos: \[ X = \left[\begin{array}{rr}0 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right] - 2A = \left[\begin{array}{rr}0 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}0 & 4 \\ -2 & -5\end{array}\right]. \] Portanto, a matriz \( X \) que satisfaz a condição dada é: \[ X = \left[\begin{array}{rr}0 & 4 \\ -2 & -5\end{array}\right]. \]