25 On considère les points \( A(2 ;-4) ; B(4 ;-3) \) et \( C(6 ; 8) \). 1) © Déterminer léquation réduite de la droite \( (A C) \). (b) Les points \( A, B \) et \( C \) sont-ils alignés? 2) © Déterminer l'équation réduite de la droite (D) passant par le point \( B \) et parallèle à \( (A C) \). (b) Déterminer léquation réduite de la droite \( (\Delta) \) passant par le point \( B \) et orthogonale à \( (A C) \).

Pour déterminer l'équation réduite de la droite \( (AC) \), nous devons d'abord trouver le coefficient directeur, qui se calcule avec la formule \( m = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} \). Avec \( A(2; -4) \) et \( C(6; 8) \), on a : \[ m = \frac{8 - (-4)}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3. \] Maintenant, en utilisant la forme point-pente, l'équation de la droite \( (AC) \) est : \[ y - y_A = m(x - x_A) \Rightarrow y + 4 = 3(x - 2), \] ce qui donne \( y = 3x - 10 \). Pour savoir si les points \( A, B \), et \( C \) sont alignés, nous vérifions s'ils ont le même coefficient directeur. Le coefficient directeur de \( (AB) \) est : \[ m_{AB} = \frac{-3 - (-4)}{4 - 2} = \frac{1}{2}. \] Comme \( m_{AB} \neq m_{AC} \), les points A, B et C ne sont pas alignés. Pour la droite \( (D) \) passant par \( B(4; -3) \) et parallèle à \( (AC) \), elle aura le même coefficient directeur, soit 3. Ainsi, l'équation est : \[ y - y_B = 3(x - x_B) \Rightarrow y + 3 = 3(x - 4) \Rightarrow y = 3x - 15. \] Enfin, pour la droite \( (\Delta) \) passant par \( B \) et orthogonale à \( (AC) \), son coefficient directeur sera l'opposé de l'inverse. Donc : \[ m_{\Delta} = -\frac{1}{3}. \] L'équation devient : \[ y - (-3) = -\frac{1}{3}(x - 4) \Rightarrow y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x - \frac{5}{3}. \]