1. (a) Represente la función que pasa por el punto \( P(2,-3) \) y es paralela a la recta de ecuación \( y=-x+7 \). Encuentre el dominio y el rango de función encontrada. (b) Represente la función que pasa por el punto \( P(2,-3) \) y es perpen- dicular a la recta de ecuación \( y=-x+7 \). Encuentre el dominio y el rango de función encontrada. Sugerencia: Consulte [SRW15, sección 1.10, pág 106]

Para resolver el problema, vamos a abordar cada parte por separado. ### Parte (a) 1. **Identificar la pendiente de la recta dada:** La ecuación de la recta es \( y = -x + 7 \). La pendiente \( m \) de esta recta es \( -1 \). 2. **Encontrar la pendiente de la recta paralela:** Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de la recta que buscamos también es \( -1 \). 3. **Usar la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación:** La forma punto-pendiente de la ecuación de una recta es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Donde \( (x_1, y_1) \) es el punto \( P(2, -3) \) y \( m = -1 \). Sustituyendo los valores: \[ y - (-3) = -1(x - 2) \] Simplificando: \[ y + 3 = -x + 2 \] \[ y = -x - 1 \] 4. **Encontrar el dominio y el rango:** La función \( y = -x - 1 \) es una recta, por lo que su dominio es todos los números reales \( \mathbb{R} \) y su rango también es \( \mathbb{R} \). ### Parte (b) 1. **Encontrar la pendiente de la recta perpendicular:** La pendiente de la recta perpendicular es el negativo del recíproco de la pendiente de la recta dada. La pendiente de la recta dada es \( -1 \), por lo que la pendiente de la recta perpendicular \( m' \) es: \[ m' = -\frac{1}{-1} = 1 \] 2. **Usar la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación:** Usamos nuevamente la forma punto-pendiente: \[ y - y_1 = m'(x - x_1) \] Donde \( (x_1, y_1) = (2, -3) \) y \( m' = 1 \). Sustituyendo los valores: \[ y - (-3) = 1(x - 2) \] Simplificando: \[ y + 3 = x - 2 \] \[ y = x - 5 \] 3. **Encontrar el dominio y el rango:** La función \( y = x - 5 \) también es una recta, por lo que su dominio es todos los números reales \( \mathbb{R} \) y su rango también es \( \mathbb{R} \). ### Resumen de Resultados - **Parte (a):** - Ecuación: \( y = -x - 1 \) - Dominio: \( \mathbb{R} \) - Rango: \( \mathbb{R} \) - **Parte (b):** - Ecuación: \( y = x - 5 \) - Dominio: \( \mathbb{R} \) - Rango: \( \mathbb{R} \)