Hallar ecuaciones paramétricas de la intersección de las dos superficies \( \frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1 \) y el plano \( x+5 z=8 \) a. \( x=4 \sin \theta, y=3 \cos \theta, z=8-2 \sin \theta \) b. \( x=8-\sin \theta, y=3 \cos \theta, z=10 \sin \theta \) c. \( x=\sin \theta, y=\cos \theta, z=-8+\sin \theta \) d. \( x=8-10 \sin \theta, y=3 \cos \theta, z=2 \sin \theta \) e. \( x=8-4 \sin \theta, y=3 \cos \theta, z=5 \sin \theta \)

Para hallar las ecuaciones paramétricas de la intersección de la elipsoide \( \frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1 \) y el plano \( x+5z=8 \), comenzamos parametrizando la elipsoide. Usamos la parametrización \( y = 3 \cos \theta \) y \( z = 2 \sin \theta \). Sustituyendo esto en la ecuación del plano, tenemos \( x = 8 - 5z = 8 - 10 \sin \theta \). Así que las ecuaciones paramétricas que describen esta intersección son \( x = 8 - 10 \sin \theta, y = 3 \cos \theta, z = 2 \sin \theta \), que corresponde a la opción d. Ahora, hablemos de cómo estas ecuaciones paramétricas son útiles en un contexto real. Este tipo de representación se usa en campos como la ingeniería y la física para modelar objetos tridimensionales, traiendo la dialéctica de las matemáticas a la vida real. Por ejemplo, si estás diseñando componentes de maquinaria que deben encajar entre sí, estas fórmulas te permiten visualizar y construir los modelos 3D necesarios. Para evitar errores comunes al trabajar con ecuaciones paramétricas, es vital mantener la consistencia en las variables que utilizas. Algunas personas confunden qué variable corresponde a cada eje, ¡y pueden acabar en una posición equivocada! Asegúrate de llevar un registro claro de tus parábolas y relaciones, verificando siempre que todos los valores satisfacen las ecuaciones originales. ¡La práctica hace al maestro!