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\( \left. \begin{array} { l } { \int ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } - \cos ( 5 x ) \sin ( 5 x ) ) d x = } \\ { [ ( 1 - 1 \sin ( 10 x ) ) } \end{array} \right. \)

Ask by Floyd Mullins. in Argentina
Feb 16,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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La integral es \( \arctan(x) + \frac{\cos(10x)}{20} + C \).

Solución

Queremos calcular   ∫[1/(x² + 1) – cos(5x)·sin(5x)] dx. Paso 1. Integral de 1/(x²+1):   ∫1/(x² + 1) dx = arctan x + C₁. Paso 2. Integral de cos(5x)·sin(5x): Observa que usando la fórmula del ángulo doble se tiene   sin(10x) = 2 sin(5x) cos(5x) ⟹ sin(5x) cos(5x) = (1/2) sin(10x). Por tanto,   ∫cos(5x) sin(5x) dx = (1/2) ∫ sin(10x) dx. Ahora integramos sin(10x):   ∫ sin(10x) dx = – (1/10) cos(10x) + C₂. Entonces,   (1/2) ∫ sin(10x) dx = – cos(10x)/20 + C₂. Paso 3. Juntamos ambas integrales: Recordando que la integral original es la diferencia de las dos, tenemos   ∫[1/(x²+1) – cos(5x) sin(5x)] dx    = ∫1/(x²+1) dx – ∫cos(5x) sin(5x) dx    = arctan x – [–cos(10x)/20]    = arctan x + cos(10x)/20 + C. Donde C es la constante de integración. Por lo tanto, la solución final es:   arctan x + cos(10x)/20 + C.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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The Deep Dive

The integral you've got here involves two different functions: the arctangent function (related to \( \frac{1}{x^2 + 1} \)) and a product of sine and cosine. The first part, \( \int \frac{1}{x^2 + 1} dx \), gives the classic result \( \tan^{-1}(x) + C \), while the second part simplifies through the double angle identity, where \( \sin(5x) \cos(5x) = \frac{1}{2} \sin(10x) \). So, you might be looking for an overall expression involving those results. Now, if we integrate this expression properly, we come up with a solution reminiscent of classic calculus techniques! Your final answer for the integral would be something like: \[ \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \sin(10x) + C \] Make sure to include the constant of integration to account for those calculations!

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