9. Aus einem Kreisausschnitt mit der Fläche \( A=0,35 \mathrm{~m}^{2} \) und einem Radius von \( \mathrm{r}=75 \mathrm{~cm} \) will Paul _ von 6 seiner Schwester zur Einschulung eine Schultüte selber basteln. Wie du weißt, lässt sich dieser Kreisausschnitt zu einem Kegel rollen. Weißt du auch, welchen Durchmesser dieser Kegel höchstens haben kann?
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Beyond the Answer
Um den Durchmesser des Kegels zu bestimmen, den Paul aus dem Kreisausschnitt herstellen kann, muss man zuerst den Umfang des Kreisausschnitts berechnen. Der Umfang \( U \) eines vollständigen Kreises ist gegeben durch \( U = 2\pi r \). Da Paul jedoch nur einen Teil davon verwendet, sollten wir die Fläche \( A \) des Kreisausschnitts in Bezug auf den Radius nutzen, um den Winkel und somit den Umfang zu ermitteln. Aus der Formel für die Fläche eines Kreises \( A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha \) (wobei \( \alpha \) der Winkel im Bogenmaß ist), können wir den Bogen \( s \) bestimmen. Dieser entspricht dem Umfang der Basis des Kegels, also \( s = r \cdot \alpha \). Schließlich wird der Durchmesser des Kegels durch die Formel \( d = \frac{s}{\pi} \) bestimmt. Bei einem \( A = 0,35 \, m^2 \) und \( r = 0,75 \, m \), lässt sich leicht herausfinden, dass der Durchmesser des Kegels halben Umfangs \( d = \frac{2A}{h} \) ist, wobei \( h = r \). Mache das Rechnenspiel und du erhältst den maximalen Durchmesser für die Kegelbasis!
