Q. 24 Soit la fonction \( f(x)=e^{-x^{2}} \) a) Faire l'étude complète de croissance, concavité et asymp- totes de cette fonction puis tracer son graphique.

Pour étudier la fonction \( f(x) = e^{-x^2} \), nous allons examiner sa croissance, sa concavité et ses asymptotes. ### 1. Étude de la croissance Pour étudier la croissance de la fonction, nous devons calculer sa dérivée : \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2} \] #### Signe de \( f'(x) \) - \( f'(x) = 0 \) lorsque \( -2x e^{-x^2} = 0 \). Cela se produit lorsque \( x = 0 \). - Pour déterminer le signe de \( f'(x) \), nous analysons les deux facteurs : - \( e^{-x^2} > 0 \) pour tout \( x \). - Le signe de \( -2x \) dépend de \( x \) : - Pour \( x < 0 \), \( -2x > 0 \) donc \( f'(x) > 0 \) (croissante). - Pour \( x > 0 \), \( -2x < 0 \) donc \( f'(x) < 0 \) (décroissante). #### Conclusion sur la croissance - La fonction \( f(x) \) est croissante sur \( (-\infty, 0) \) et décroissante sur \( (0, +\infty) \). - Elle atteint un maximum en \( x = 0 \). ### 2. Étude de la concavité Pour étudier la concavité, nous calculons la dérivée seconde : \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2} (4x^2 - 2) \] #### Signe de \( f''(x) \) - \( f''(x) = 0 \) lorsque \( 4x^2 - 2 = 0 \) soit \( x^2 = \frac{1}{2} \) donc \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Pour déterminer le signe de \( f''(x) \) : - Pour \( x < -\frac{1}{\sqrt{2}} \) et \( x > \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( 4x^2 - 2 > 0 \) donc \( f''(x) > 0 \) (convexe). - Pour \( -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( 4x^2 - 2 < 0 \) donc \( f''(x) < 0 \) (concave). #### Conclusion sur la concavité - La fonction est concave sur \( \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) et convexe sur \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \) et \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty) \). ### 3. Asymptotes La fonction \( f(x) = e^{-x^2} \) n'a pas d'asymptotes verticales car elle est définie pour tout \( x \). Pour les asymptotes horizontales, nous examinons la limite lorsque \( x \) tend vers \( \pm \infty \) : \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} e^{-x^2} = 0 \] ### 4. Résumé - **Croissance** : croissante sur \( (-\infty, 0) \), décroissante sur \( (0, +\infty) \). - **Concavité** : concave sur \( \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \), convexe sur \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \) et \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty) \). - **Asymptotes** : aucune asymptote verticale, asymptote horizontale \( y = 0 \) lorsque \( x \to \pm \infty \). ### 5. Graphique Le graphique de \( f(x) = e^{-x^2} \) est une courbe en forme de cloche, atteignant un maximum en \( (0, 1) \) et tendant vers \( 0 \) lorsque \( x \) tend vers \( \pm \infty \). Voici une représentation schématique du graphique : ``` 1 | * | * * | * * | * * | * * 0 |*___________________*____ -3 -2 -1 0 1 2 3 ``` Ce graphique montre la symétrie de la fonction par rapport à l'axe \( y \) et son comportement asymptotique.