Pregunta

18) \( 3 n^{3}-2 n^{2}-9 n+6 \)

Ask by Rogers Rose. in the United States
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

\[ (3n - 2)(n^2 - 3) \]

Solución

**Step 1. Factor by grouping** Rewrite the polynomial by grouping terms: \[ 3n^3 - 2n^2 - 9n + 6 = (3n^3 - 2n^2) + (-9n + 6) \] **Step 2. Factor out common factors in each group** In the first group, \(3n^3 - 2n^2\), factor out \(n^2\): \[ n^2(3n - 2) \] In the second group, \(-9n + 6\), factor out \(-3\): \[ -3(3n - 2) \] **Step 3. Factor out the common binomial** The expression now becomes: \[ n^2(3n - 2) - 3(3n - 2) \] Both terms have the common factor \((3n - 2)\). Factor it out: \[ (3n - 2)(n^2 - 3) \] **Final Answer** \[ (3n - 2)(n^2 - 3) \]

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Extra Insights

Let's dive into the intriguing world of polynomials! The expression \(3 n^{3}-2 n^{2}-9 n+6\) is a cubic polynomial, meaning its highest degree is 3, which tells us it has the potential for three roots. Did you know that polynomials like this can be plotted on a graph, showing how it behaves as \(n\) varies? It can have turning points and cross the x-axis up to three times, depending on the discriminant! When tackling a polynomial like this, one common approach is to look for rational roots using the Rational Root Theorem. This involves checking factors of the constant term (6) over factors of the leading coefficient (3). Remember, substituting values such as \(n = 1, -1, 2, -2\), etc., could reveal roots. Also, pay attention to signs; they can help you track down mistakes or lead you towards more efficient solutions. Just make sure you check your work!

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