Las longitudes $$ a, b y $$ c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En un instante en cuestion, $$ a=2 \mathrm{mt}, b=5 \mathrm{mt}, c=4 \mathrm{mt} $$, además $$ a $$ aumenta a $$ 1 \mathrm{mt} / \mathrm{seg}, b $$ aumenta a $$ 0.5 \mathrm{mt} / \mathrm{seg} $$ y caumenta 2 $$ \mathrm{mt} / $$ seg. Cual es la tasa de cambio del volumen $$ V $$ de la caja en ese instante? Respuesta:

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Dado que el volumen de la caja es  
$$
V = abc,
$$  
su derivada con respecto al tiempo se obtiene derivando de forma implícita:
$$
\frac{dV}{dt} = \frac{da}{dt} \, bc + a \, \frac{db}{dt} \, c + ab \, \frac{dc}{dt}.
$$

En el instante dado tenemos:
- $$ a = 2\, \mathrm{mt} $$ con $$\frac{da}{dt} = 1\, \mathrm{mt/seg} $$,
- $$ b = 5\, \mathrm{mt} $$ con $$\frac{db}{dt} = 0.5\, \mathrm{mt/seg} $$,
- $$ c = 4\, \mathrm{mt} $$ con $$\frac{dc}{dt} = 2\, \mathrm{mt/seg} $$.

Sustituyendo en la fórmula:
$$
\frac{dV}{dt} = 1 \times 5 \times 4 + 2 \times 0.5 \times 4 + 2 \times 5 \times 2.
$$

Realizando las operaciones:
$$
\frac{dV}{dt} = 20 + 4 + 20 = 44\, \mathrm{mt^3/seg}.
$$

Por lo tanto, la tasa de cambio del volumen en ese instante es:
$$
\frac{dV}{dt} = 44\, \mathrm{mt^3/seg}.
$$
La tasa de cambio del volumen de la caja en ese instante es $$ 44 \, \mathrm{mt}^3/\mathrm{seg} $$.

Las longitudes c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En un instante en cuestion,
, además aumenta a aumenta a y caumenta 2
seg. Cual es la tasa de cambio del volumen de la caja en ese instante?
Respuesta:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Las longitudes c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En un instante en cuestion, , además aumenta a aumenta a y caumenta 2 seg. Cual es la tasa de cambio del volumen de la caja en ese instante? Respuesta: