25. Boné par les cylindres \( z=x^{2}, y=x^{2} \) et les plans \( z=0, y=4 \)

Considérons le solide défini par les surfaces (ou « cylindres ») \[ z=x^{2} \quad \text{et} \quad y=x^{2}, \] et les plans \[ z=0 \quad \text{et} \quad y=4. \] Le solide est ainsi borné dans la direction \(z\) entre le plan \(z=0\) et la surface \(z=x^{2}\) (cylindre vertical dans la direction \(y\)) et dans la direction \(y\) entre la surface \(y=x^{2}\) (cylindre dans la direction \(z\)) et le plan \(y=4\). Afin de décrire la région dans \(\mathbb{R}^{3}\), on peut choisir l’ordre d’intégration suivant \((dz\,dy\,dx)\). Pour un point de la région, les bornes sont : - Pour \(z\) : \(z\) varie entre \(z=0\) et \(z=x^{2}\), - Pour \(y\) : \(y\) varie entre \(y=x^{2}\) et \(y=4\), - Pour \(x\) : étant donné que \(y=x^{2}\) et \(y\le 4\), on a \(x^{2}\le 4\) donc \( -2\le x\le 2\). Le volume \(V\) du solide s’exprime par : \[ V=\int_{x=-2}^{2}\int_{y=x^{2}}^{4}\int_{z=0}^{x^{2}}dz\,dy\,dx. \] La résolution se fait de la manière suivante : 1. Intégration par rapport à \(z\) : \[ \int_{z=0}^{x^{2}}dz = x^{2}. \] 2. Cette intégrale se substitue dans l’intégrale en \(y\) : \[ \int_{y=x^{2}}^{4}x^{2}\,dy = x^{2}\Bigl[y\Bigr]_{y=x^{2}}^{4} = x^{2}\,(4 - x^{2}). \] 3. L’intégrale finale en \(x\) est alors : \[ V=\int_{x=-2}^{2}x^{2}(4-x^{2})dx. \] Notons que la fonction \(x^{2}(4-x^{2})\) est paire, c’est-à-dire symétrique par rapport à \(x=0\). Nous pouvons donc écrire : \[ V=2\int_{0}^{2}x^{2}(4-x^{2})dx. \] Développons l’intégrande : \[ x^{2}(4-x^{2})= 4x^{2}-x^{4}. \] L’intégrale devient : \[ V=2\int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx. \] Calculons l’intégrale : \[ \int_{0}^{2}4x^{2}dx = 4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 4\cdot\frac{8}{3} = \frac{32}{3}, \] et \[ \int_{0}^{2}x^{4}dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}. \] Ainsi, \[ \int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx = \frac{32}{3}-\frac{32}{5} = 32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = 32\cdot\frac{5-3}{15} = 32\cdot\frac{2}{15} = \frac{64}{15}. \] En multipliant par \(2\) : \[ V=2\cdot\frac{64}{15}=\frac{128}{15}. \] La valeur du volume du solide est donc : \[ \boxed{\frac{128}{15}}. \]