(5) $$ \vec{u} $$ et $$ \vec{v} $$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $$ \|\vec{u}\|=1 $$ et $$ \|\vec{v}\|=\frac{1}{2} $$. a) $$ (\vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) $$ est egal à : (1) $$ \frac{3}{2} $$ 1210 (3) $$ \frac{1}{2} $$ b) $$ (\vec{u}-\vec{v})^{2} $$ est egal $$ a $$ : (11) $$ \frac{1}{2} $$ (2) $$ \frac{1}{4} $$ (3) $$ \frac{5}{4} $$ (6) Dans un repère orthonorme du plan, on donne les points $$ A(1 ; 2), B(4 ; 7) $$ et $$ C(9 ;-3) $$. Le triangle $$ A B C $$ est isocèle . (1) en $$ A $$ (2) en $$ B $$ (3) en $$ C $$

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### a) Calcul de $$ (\vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) $$

1. **Développons l'expression :**
   $$
   (\vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} - 2 \vec{v} \cdot \vec{u} + 2 \vec{v} \cdot \vec{v}
   $$

2. **Utilisons les propriétés des produits scalaires :**
   - $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 = 1^2 = 1 $$
   - $$ \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{v}\|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$
   - Comme $$ \vec{u} $$ et $$ \vec{v} $$ sont orthogonaux, $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$.

3. **Substituons ces valeurs dans l'expression :**
   $$
   (\vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) = 1 - 0 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{4}
   $$
   $$
   = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
   $$

Donc, la réponse à la question a) est $$ \frac{3}{2} $$.

### b) Calcul de $$ (\vec{u}-\vec{v})^{2} $$

1. **Développons l'expression :**
   $$
   (\vec{u}-\vec{v})^{2} = (\vec{u}-\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v}
   $$

2. **Utilisons les mêmes propriétés que précédemment :**
   - $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = 1 $$
   - $$ \vec{v} \cdot \vec{v} = \frac{1}{4} $$
   - $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$.

3. **Substituons ces valeurs dans l'expression :**
   $$
   (\vec{u}-\vec{v})^{2} = 1 - 2 \cdot 0 + \frac{1}{4}
   $$
   $$
   = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
   $$

Donc, la réponse à la question b) est $$ \frac{5}{4} $$.

### c) Détermination du triangle isocèle

Pour déterminer quel point est le sommet de l'angle droit dans le triangle $$ ABC $$, nous allons calculer les longueurs des côtés $$ AB $$, $$ BC $$ et $$ AC $$.

1. **Calculons les longueurs :**
   - $$ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} $$
   - $$ BC = \sqrt{(9-4)^2 + (-3-7)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $$
   - $$ AC = \sqrt{(9-1)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{8^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} $$

2. **Comparons les longueurs :**
   - $$ AB^2 = 34 $$
   - $$ BC^2 = 125 $$
   - $$ AC^2 = 89 $$

Pour qu'un triangle soit isocèle, deux longueurs doivent être égales. En comparant les longueurs, nous constatons que :

- $$ AB^2 $$ et $$ AC^2 $$ ne sont pas égales.
- $$ AB^2 $$ et $$ BC^2 $$ ne sont pas égales.
- $$ AC^2 $$ et $$ BC^2 $$ ne sont pas égales.

Ainsi, le triangle $$ ABC $$ n'est pas isocèle en $$ A $$, $$ B $$ ou $$ C $$.

### Résumé des réponses :
- a) $$ \frac{3}{2} $$
- b) $$ \frac{5}{4} $$
- c) Le triangle $$ ABC $$ n'est isocèle en aucun des points $$ A $$, $$ B $$ ou $$ C $$.
a) $$ \frac{3}{2} $$ b) $$ \frac{5}{4} $$ c) Le triangle $$ ABC $$ n'est isocèle en aucun des points $$ A $$, $$ B $$ ou $$ C $$.

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