8 Calculez l'intégrale itérée. 3. \( \int_{0}^{2} \int_{0}^{z^{2}} \int_{0}^{y-z}(2 x-y) d x d y d z \)

Pour résoudre cette intégrale itérée, nous devons procéder par étapes en commençant par l'intégration par rapport à \( x \), puis \( y \), et enfin \( z \). 1. **Intégration par rapport à \( x \)** : \[ \int_{0}^{y-z} (2x - y) \, dx = \left[x^2 - yx \right]_{0}^{y-z} = (y-z)^2 - y(y-z) = y^2 - 2yz + z^2 - y^2 + yz = z^2 - yz \] 2. **Intégration par rapport à \( y \)** : Maintenant nous intégraons \( z^2 - yz \) de \( 0 \) à \( z^2 \) : \[ \int_{0}^{z^{2}} (z^2 - yz) \, dy = \left[z^2y - \frac{y^2z}{2}\right]_{0}^{z^2} = z^2(z^2) - \frac{(z^2)^2z}{2} = z^4 - \frac{z^5}{2} = \frac{2z^4 - z^5}{2} \] 3. **Intégration par rapport à \( z \)** : Enfin, nous intégrons de \( 0 \) à \( 2 \): \[ \int_{0}^{2} \frac{2z^4 - z^5}{2} \, dz = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2z^4 - z^5) \, dz \] Calculons cela : \[ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2z^5}{5} - \frac{z^6}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2(2^5)}{5} - \frac{(2^6)}{6} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{64}{5} - \frac{64}{6} \right) \] Trouvons un dénominateur commun (30) : \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{384}{30} - \frac{320}{30} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{30} = \frac{32}{30} = \frac{16}{15} \] Ainsi, l'intégrale itérée est égale à \(\frac{16}{15}\).