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Use a change of variables or the table to evaluate the following indefinite integral. \( \int x^{3} e^{x^{4}} d x \) \( \int x^{3} e^{x^{4}} d x=\square \)

Ask by Weston Cox. in the United States
Mar 07,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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\[ \int x^{3} e^{x^{4}}\, dx = \frac{1}{4} e^{x^{4}} + C \]

Solución

Let \( u = x^4 \). Then the derivative is \[ \frac{du}{dx} = 4x^3, \] so that \[ x^3\, dx = \frac{1}{4}\, du. \] Substitute into the integral: \[ \int x^3 e^{x^4}\, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{4}\, du = \frac{1}{4} \int e^u\, du. \] Evaluating the integral, we have: \[ \int e^u\, du = e^u. \] Thus, \[ \int x^3 e^{x^4}\, dx = \frac{1}{4} e^u + C. \] Substitute back \( u = x^4 \) to obtain the final answer: \[ \int x^3 e^{x^4}\, dx = \frac{1}{4} e^{x^4} + C. \]

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To solve the integral \( \int x^{3} e^{x^{4}} d x \), we can use a change of variables. Let's set \( u = x^4 \). Then, the derivative \( du = 4x^3 dx \), or \( dx = \frac{du}{4x^3} \). The integral becomes: \[ \int x^{3} e^{x^{4}} d x = \int x^{3} e^{u} \frac{du}{4x^{3}} = \frac{1}{4} \int e^{u} du \] Now, integrating \( e^{u} \) gives us \( e^{u} + C \). Re-substituting \( u = x^4 \): \[ \frac{1}{4}(e^{x^{4}} + C) = \frac{1}{4} e^{x^{4}} + C \] So, the final result is: \[ \int x^{3} e^{x^{4}} d x = \frac{1}{4} e^{x^{4}} + C \]

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