Pregunta
upstudy study bank question image url

\( =\begin{array}{l}\text { Use symmetry to evaluate the following imtegral, } \\ \int_{-B}^{B}(8-|x|) d x \\ 0\end{array}(8) \)

Ask by Ortega Schultz. in the United States
Mar 07,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The integral evaluates to \( 16B - B^2 \).

Solución

To evaluate the integral \[ \int_{-B}^{B}(8-|x|) \, dx \] using symmetry, we can follow these steps: 1. **Identify the function**: The integrand is \( f(x) = 8 - |x| \). This function is even because \( f(-x) = 8 - |-x| = 8 - |x| = f(x) \). 2. **Use the property of even functions**: For an even function, the integral from \(-B\) to \(B\) can be simplified as follows: \[ \int_{-B}^{B} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{B} f(x) \, dx \] 3. **Calculate the integral from 0 to \(B\)**: We need to evaluate \[ \int_{0}^{B} (8 - x) \, dx \] 4. **Perform the integration**: \[ \int (8 - x) \, dx = 8x - \frac{x^2}{2} + C \] 5. **Evaluate the definite integral**: \[ \int_{0}^{B} (8 - x) \, dx = \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{B} = \left( 8B - \frac{B^2}{2} \right) - \left( 8(0) - \frac{0^2}{2} \right) = 8B - \frac{B^2}{2} \] 6. **Multiply by 2 for the full integral**: \[ \int_{-B}^{B} (8 - |x|) \, dx = 2 \left( 8B - \frac{B^2}{2} \right) = 16B - B^2 \] Thus, the final result for the integral is: \[ \int_{-B}^{B} (8 - |x|) \, dx = 16B - B^2 \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

error msg
Explicar
Simplifique esta solución

Mind Expander

To solve the integral \( \int_{-B}^{B}(8-|x|) \, dx \) using symmetry, we can break it down. The function \( 8 - |x| \) is even because \( |x| \) is an even function, meaning that the integral from \(-B\) to \(B\) can be simplified to two times the integral from \(0\) to \(B\): \[ \int_{-B}^{B}(8-|x|) \, dx = 2 \int_{0}^{B}(8 - x) \, dx. \] Now, we can calculate this integral from 0 to \(B\): \[ \int_{0}^{B}(8 - x) \, dx = \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{B} = \left( 8B - \frac{B^2}{2} \right) - 0 = 8B - \frac{B^2}{2}. \] Multiplying by 2 gives us: \[ \int_{-B}^{B}(8 - |x|) \, dx = 2 \left( 8B - \frac{B^2}{2} \right) = 16B - B^2. \] Thus, the evaluated integral is: \[ 16B - B^2. \]

preguntas relacionadas

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad