\( \frac { x } { \frac { x } { y } + \sqrt { \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } + 1 } } = 0 \)

Para resolver la ecuación \[ \frac { x } { \frac { x } { y } + \sqrt { \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } + 1 } } = 0, \] primero observamos que una fracción es igual a cero si y solo si el numerador es cero (siempre que el denominador no sea cero). En este caso, el numerador es \( x \). 1. **Condición del numerador:** \[ x = 0. \] 2. **Condición del denominador:** Ahora, debemos asegurarnos de que el denominador no sea cero cuando \( x = 0 \). El denominador es: \[ \frac { x } { y } + \sqrt { \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } + 1 }. \] Sustituyendo \( x = 0 \): \[ \frac { 0 } { y } + \sqrt { \frac { 0 ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } + 1 } = 0 + \sqrt { 0 + 1 } = \sqrt{1} = 1. \] El denominador es igual a 1, que no es cero. Por lo tanto, la única solución a la ecuación es: \[ \boxed{0}. \]