Cálculo de la matriz inversa de tamaño $$ 3 imes 3 $$. - Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán. Sugerencia: Para determinar la matriz inversa utilizando el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán, se coloca la matriz original a la izquierda y la matriz identidad a la derecha. A continuación, se aplican operaciones elementales entre filas con el objetivo de transformar la matriz de la izquierda en la matriz identidac La matriz resultante a la derecha será la matriz inversa de la matriz original. Calcule la matriz inversa utilizando el método de la matriz adjunta y el determinante. $$ \begin{array}{l} ext { Sugerencia: Si la matriz M es invertible, entonces su inversa M-1 se } \ ext { puede calcular como el producto del inverso multiplicativo del } \ ext { determinante de } M ext { y la matriz adjunta de M. Es decir, }\end{array} $$ B. B=( $$ \left.\begin{array}{ccc}1 & -4 & 0 \ 1 & 3 & 4 \ 0 & -2 & 2\end{array} ight) $$

Question

Cálculo de la matriz inversa de tamaño $$ 3 	imes 3 $$. - Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán. Sugerencia: Para determinar la matriz inversa utilizando el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán, se coloca la matriz original a la izquierda y la matriz identidad a la derecha. A continuación, se aplican operaciones elementales entre filas con el objetivo de transformar la matriz de la izquierda en la matriz identidac La matriz resultante a la derecha será la matriz inversa de la matriz original. Calcule la matriz inversa utilizando el método de la matriz adjunta y el determinante. $$ \begin{array}{l}	ext { Sugerencia: Si la matriz M es invertible, entonces su inversa M-1 se } \ 	ext { puede calcular como el producto del inverso multiplicativo del } \ 	ext { determinante de } M 	ext { y la matriz adjunta de M. Es decir, }\end{array} $$ B. B=( $$ \left.\begin{array}{ccc}1 & -4 & 0 \ 1 & 3 & 4 \ 0 & -2 & 2\end{array}ight) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular la matriz inversa de la matriz $$ B $$ utilizando el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán y el método de la matriz adjunta, seguiremos los siguientes pasos:

### Parte A: Método de eliminación de Gauss-Jordán

1. **Definir la matriz y la matriz identidad**:
   La matriz $$ B $$ es:
   $$
   B = \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 \
   1 & 3 & 4 \
   0 & -2 & 2
   \end{pmatrix}
   $$
   La matriz identidad de tamaño $$ 3 \times 3 $$ es:
   $$
   I = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & 0 \
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

2. **Formar la matriz aumentada**:
   La matriz aumentada se forma combinando $$ B $$ y $$ I $$:
   $$
   \left( B | I \right) = \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \
   1 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \
   0 & -2 & 2 & | & 0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

3. **Aplicar operaciones elementales**:
   Realizaremos operaciones elementales en las filas para transformar la parte izquierda en la matriz identidad.

- Restar la fila 1 de la fila 2:
   $$
   R_2 = R_2 - R_1 \implies \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 7 & 4 & | & -1 & 1 & 0 \
   0 & -2 & 2 & | & 0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

- Multiplicar la fila 2 por $$ \frac{1}{7} $$:
   $$
   R_2 = \frac{1}{7} R_2 \implies \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & \frac{4}{7} & | & -\frac{1}{7} & \frac{1}{7} & 0 \
   0 & -2 & 2 & | & 0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

- Sumar $$ 2 \times R_2 $$ a $$ R_3 $$:
   $$
   R_3 = R_3 + 2R_2 \implies \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & \frac{4}{7} & | & -\frac{1}{7} & \frac{1}{7} & 0 \
   0 & 0 & \frac{18}{7} & | & -\frac{2}{7} & \frac{2}{7} & 1
   \end{pmatrix}
   $$

- Multiplicar la fila 3 por $$ \frac{7}{18} $$:
   $$
   R_3 = \frac{7}{18} R_3 \implies \begin{pmatrix}
   1 & -4 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & \frac{4}{7} & | & -\frac{1}{7} & \frac{1}{7} & 0 \
   0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{7}{18}
   \end{pmatrix}
   $$

- Sustituyendo hacia arriba:
     - $$ R_2 = R_2 - \frac{4}{7} R_3 $$
     - $$ R_1 = R_1 + 4R_2 $$

Después de realizar todas las operaciones, obtendremos la matriz identidad a la izquierda y la inversa a la derecha.

### Parte B: Método de la matriz adjunta y determinante

1. **Calcular el determinante de $$ B $$**:
   $$
   \text{det}(B) = 1 \cdot (3 \cdot 2 - 4 \cdot (-2)) - (-4) \cdot (1 \cdot 2 - 4 \cdot 0) + 0 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot 0)
   $$
   $$
   = 1 \cdot (6 + 8) + 4 \cdot 2 = 14 + 8 = 22
   $$

2. **Calcular la matriz adjunta**:
   La matriz adjunta se calcula como la transpuesta de la matriz de cofactores.

- Cofactores de $$ B $$:
   $$
   C_{11} = \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 4 \ -2 & 2 \end{pmatrix} = 6 + 8 = 14
   $$
   $$
   C_{12} = -\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2
   $$
   $$
   C_{13} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & -2 \end{pmatrix} = -2
   $$
   $$
   C_{21} = -\text{det} \begin{pmatrix} -4 & 0 \ -2 & 2 \end{pmatrix} = 8
   $$
   $$
   C_{22} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2
   $$
   $$
   C_{23} = -\text{det} \begin{pmatrix} 1 & -4 \ 0 & -2 \end{pmatrix} = 2
   $$
   $$
   C_{31} = \text{det} \begin{pmatrix} -4 & 0 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = -16
   $$
   \[
   C_{32} = -
Para calcular la matriz inversa de $$ B $$, se puede usar el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán o el método de la matriz adjunta y el determinante. Ambos métodos conducen a la misma inversa.

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