• \( \mathrm{m}^{2}-4 \mathrm{mn}-21 n^{2}= \) \( \bullet\left(9 m^{6}+12 \mathrm{y}^{4}\right)^{2}= \) • \( \left(\mathrm{m}^{3}-4\right)\left(m^{3}-8\right)= \) • \( 10 a^{2}+29 \mathrm{a}+10= \) • \( (1-4 m)^{3}= \) • \( \left(6 m n^{4}-p^{5}\right)\left(6 m n^{4}+p^{5}\right)= \)

1. Sea \( m^2-4mn-21n^2 \). Buscamos escribirlo en la forma \[ (m + an)(m + bn), \] de modo que \[ a+b=-4 \quad \text{y} \quad ab=-21. \] Los números \(3\) y \(-7\) satisfacen estas condiciones, ya que \(3+(-7)=-4\) y \(3\cdot(-7)=-21\). Por ello, \[ m^2-4mn-21n^2=(m+3n)(m-7n). \] 2. Sea \( \left(9m^6+12y^4\right)^2 \). Primero se factoriza el interior extrayendo el factor común \(3\): \[ 9m^6+12y^4=3(3m^6+4y^4). \] Al elevar al cuadrado se obtiene: \[ \left(9m^6+12y^4\right)^2=\left[3(3m^6+4y^4)\right]^2=9\left(3m^6+4y^4\right)^2. \] 3. Sea \(\left(m^3-4\right)\left(m^3-8\right)\). Se puede multiplicar directamente: \[ \begin{aligned} (m^3-4)(m^3-8) & = m^3\cdot m^3 - m^3\cdot 8 -4\cdot m^3 + 4\cdot 8\\[1mm] & = m^6 - 8m^3 - 4m^3 + 32\\[1mm] & = m^6 - 12m^3 + 32. \end{aligned} \] 4. Sea \( 10a^2+29a+10 \). Se busca escribirlo como producto de dos binomios: \[ 10a^2+29a+10=(5a+2)(2a+5). \] Verificamos: \[ (5a+2)(2a+5)=10a^2+25a+4a+10=10a^2+29a+10. \] 5. Sea \((1-4m)^3\). Utilizando el binomio al cubo: \[ (1-4m)^3=1^3-3\cdot1^2\cdot(4m)+3\cdot1\cdot(4m)^2-(4m)^3. \] Calculando cada término: \[ 1^3=1,\quad 3\cdot1^2\cdot4m=12m,\quad 3\cdot(4m)^2=3\cdot16m^2=48m^2,\quad (4m)^3=64m^3. \] Por lo tanto: \[ (1-4m)^3=1-12m+48m^2-64m^3. \] 6. Sea \(\left(6mn^4-p^5\right)\left(6mn^4+p^5\right)\). Se trata de la diferencia de cuadrados, ya que \[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2, \] con \( A=6mn^4 \) y \( B=p^5 \). Así, \[ \left(6mn^4-p^5\right)\left(6mn^4+p^5\right)=(6mn^4)^2-(p^5)^2. \] Calculamos: \[ (6mn^4)^2=36m^2n^8 \quad \text{y} \quad (p^5)^2=p^{10}. \] Finalmente, \[ \left(6mn^4-p^5\right)\left(6mn^4+p^5\right)=36m^2n^8-p^{10}. \]