Determina si las siguientes proposiciones son ver- daderas teniendo en cuenta que $$ p, q \in \mathbb{R} $$ y $$ s, t \in \mathbb{Z} $$. Justifica tu respuesta. $$ \begin{array}{ll} ext { 3. } p^{s}+p^{t}=p^{s+t} & ext { 7. }\left(p^{s} ight)^{t}=p^{s s} \ ext { 4. } \frac{p^{s}}{p^{t}}=p^{s-t}, p
eq 0 & ext { 8. } \frac{p^{s}}{p^{s}}=p^{\frac{s}{t}}, p
eq 0 \ ext { 5. } p^{s} \cdot p^{t}=p^{s+t} & ext { 9. } p^{s}+p^{t}=p^{s} t \ ext { 6. }\left(\frac{p}{q} ight)^{t}=\frac{p^{t}}{q^{t}}, q
eq 0 & ext { 10. }\left(\frac{p}{q} ight)^{s}=\frac{q^{t}}{p^{s}}, p, q
eq 0\end{array} $$

Question

Determina si las siguientes proposiciones son ver- daderas teniendo en cuenta que $$ p, q \in \mathbb{R} $$ y $$ s, t \in \mathbb{Z} $$. Justifica tu respuesta. $$ \begin{array}{ll}	ext { 3. } p^{s}+p^{t}=p^{s+t} & 	ext { 7. }\left(p^{s}ight)^{t}=p^{s s} \ 	ext { 4. } \frac{p^{s}}{p^{t}}=p^{s-t}, p 
eq 0 & 	ext { 8. } \frac{p^{s}}{p^{s}}=p^{\frac{s}{t}}, p 
eq 0 \ 	ext { 5. } p^{s} \cdot p^{t}=p^{s+t} & 	ext { 9. } p^{s}+p^{t}=p^{s} t \ 	ext { 6. }\left(\frac{p}{q}ight)^{t}=\frac{p^{t}}{q^{t}}, q 
eq 0 & 	ext { 10. }\left(\frac{p}{q}ight)^{s}=\frac{q^{t}}{p^{s}}, p, q 
eq 0\end{array} $$

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**Análisis de cada proposición**

1. **Proposición 3:**  
   $$
   p^{s}+p^{t}=p^{s+t}
   $$  
   **Justificación:**  
   En general, la suma de dos potencias con el mismo exponente base no equivale a una potencia cuyo exponente es la suma de los exponentes. Por ejemplo, si tomamos $$ p=2 $$, $$ s=1 $$ y $$ t=2 $$, tenemos:  
   $$
   2^{1} + 2^{2} = 2 + 4 = 6 \quad \text{y} \quad 2^{1+2} = 2^{3} = 8.
   $$
   Se observa que $$6 \neq 8$$.  
   **Resultado:** Falsa.

2. **Proposición 4:**  
   $$
   \frac{p^{s}}{p^{t}} = p^{s-t},\quad p\neq 0
   $$  
   **Justificación:**  
   Utilizando la propiedad de exponentes para la división (si $$ p\neq 0 $$, $$ \frac{p^{a}}{p^{b}} = p^{a-b} $$), la igualdad se cumple.  
   **Resultado:** Verdadera.

3. **Proposición 5:**  
   $$
   p^{s} \cdot p^{t} = p^{s+t}
   $$  
   **Justificación:**  
   Esta es una propiedad elemental de los exponentes.  
   **Resultado:** Verdadera.

4. **Proposición 6:**  
   $$
   \left(\frac{p}{q}\right)^{t} = \frac{p^{t}}{q^{t}},\quad q\neq 0
   $$  
   **Justificación:**  
   Por la propiedad de la potencia de un cociente, la igualdad es válida.  
   **Resultado:** Verdadera.

5. **Proposición 7:**  
   $$
   \left(p^{s}\right)^{t} = p^{ss}
   $$  
   **Justificación:**  
   La propiedad correcta es $$\left(p^{s}\right)^{t}=p^{s\cdot t}$$. La expresión $$p^{ss}$$ se entendería como $$p^{s\cdot s}=p^{s^2}$$, la cual solo es igual a $$p^{s\cdot t}$$ cuando $$ t=s $$.  
   **Resultado:** Falsa en general.

6. **Proposición 8:**  
   $$
   \frac{p^{s}}{p^{s}} = p^{\frac{s}{t}},\quad p\neq 0
   $$  
   **Justificación:**  
   El lado izquierdo es  
   $$
   \frac{p^{s}}{p^{s}} = 1,
   $$  
   mientras que $$p^{\frac{s}{t}}$$ no es igual a 1 salvo en casos muy particulares (por ejemplo, si $$\frac{s}{t}=0$$ o $$p=1$$).  
   **Resultado:** Falsa.

7. **Proposición 9:**  
   $$
   p^{s}+p^{t} = p^{s}t
   $$  
   **Justificación:**  
   La igualdad sugiere que la suma de dos potencias es igual al producto de una de ellas por $$t$$, lo cual no es una propiedad válida de los exponentes. Por ejemplo, si $$ p=2, s=1, t=2 $$:  
   $$
   2^{1}+2^{2} = 2+4=6 \quad \text{y} \quad 2^{1}\cdot2=2\cdot2=4.
   $$
   No se cumple la igualdad.  
   **Resultado:** Falsa.

8. **Proposición 10:**  
   $$
   \left(\frac{p}{q}\right)^{s} = \frac{q^{t}}{p^{s}},\quad p,q\neq 0
   $$  
   **Justificación:**  
   Por la propiedad de la potencia de un cociente se tiene  
   $$
   \left(\frac{p}{q}\right)^{s} = \frac{p^{s}}{q^{s}},
   $$  
   lo cual, en general, no es igual a $$\frac{q^{t}}{p^{s}}$$ salvo en circunstancias muy especiales que involucren relaciones particulares entre $$p,q,s$$ y $$t$$.  
   **Resultado:** Falsa.

**Resumen de respuestas:**  
- Proposición 3: Falsa  
- Proposición 4: Verdadera  
- Proposición 5: Verdadera  
- Proposición 6: Verdadera  
- Proposición 7: Falsa  
- Proposición 8: Falsa  
- Proposición 9: Falsa  
- Proposición 10: Falsa
**Respuestas a las proposiciones:** 1. **Proposición 3:** Falsa $$ p^{s} + p^{t} = p^{s+t} $$ no es cierto en general. 2. **Proposición 4:** Verdadera $$ \frac{p^{s}}{p^{t}} = p^{s-t} $$ siempre que $$ p \neq 0 $$. 3. **Proposición 5:** Verdadera $$ p^{s} \cdot p^{t} = p^{s+t} $$ es siempre cierto. 4. **Proposición 6:** Verdadera $$ \left(\frac{p}{q}\right)^{t} = \frac{p^{t}}{q^{t}} $$ siempre que $$ q \neq 0 $$. 5. **Proposición 7:** Falsa $$ \left(p^{s}\right)^{t} = p^{ss} $$ no es cierto en general. 6. **Proposición 8:** Falsa $$ \frac{p^{s}}{p^{s}} = p^{\frac{s}{t}} $$ no es cierto en general. 7. **Proposición 9:** Falsa $$ p^{s} + p^{t} = p^{s}t $$ no es cierto en general. 8. **Proposición 10:** Falsa $$ \left(\frac{p}{q}\right)^{s} = \frac{q^{t}}{p^{s}} $$ no es cierto en general. **Resumen:** - 3: Falsa - 4: Verdadera - 5: Verdadera - 6: Verdadera - 7: Falsa - 8: Falsa - 9: Falsa - 10: Falsa

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