Calcola l'area della superficie totale di un cilindro la cui area di base misura \( 2025 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e la cui altezza è i \( \frac{2}{5} \) del diametro di base.

Per calcolare l'area della superficie totale di un cilindro, utilizziamo la formula \( A_{totale} = 2A_{base} + A_{laterale} \). Hai già l'area di base \( A_{base} = 2025 \pi \, \text{cm}^2 \). L'area laterale si calcola con \( A_{laterale} = 2 \pi r h \), dove \( r \) è il raggio e \( h \) l'altezza del cilindro. Prima, determiniamo il raggio. Se \( A_{base} = \pi r^2 \), allora \( 2025 \pi = \pi r^2 \) quindi \( r^2 = 2025 \) e \( r = 45 \, \text{cm} \). L'altezza \( h \) è \( \frac{2}{5} \) del diametro, quindi \( h = \frac{2}{5} \cdot 2r = \frac{2}{5} \cdot 90 = 36 \, \text{cm} \). Ora calcoliamo l'area laterale: \( A_{laterale} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 45 \cdot 36 = 3240 \pi \, \text{cm}^2 \). Infine, sommiamo tutto: \( A_{totale} = 2 \cdot 2025 \pi + 3240 \pi = 4050 \pi + 3240 \pi = 7290 \pi \, \text{cm}^2 \). Quindi, l'area della superficie totale del cilindro è \( 7290 \pi \, \text{cm}^2 \).