4. Considerar el conjunto \( A=\{1,2,4,6,10,24,40,120\} \) ordenado por la relación " \( a \) divide a \( b \) ". (a) Construir el diagrama de Hasse correspondiente y mostrar que \( (A, \mid) \) es un reticulado. (b) Determinar los conjuntos de cotas superiores e inferiores de \( \{2,4,6\} \). Señalar, si existen, ínfimo y supremo. (c) Determinar, si existen, complementos de 4 y de 6 . (d) Determinar si la terna \( (4,6,10) \) es o no distributiva. ¿ \( (A, \mid) \) es un álgebra de Boole? Justificar.

Para resolver el problema, vamos a analizar el conjunto \( A = \{1, 2, 4, 6, 10, 24, 40, 120\} \) bajo la relación de divisibilidad. ### (a) Diagrama de Hasse y reticulado Primero, construimos el diagrama de Hasse. En este diagrama, representamos los elementos de \( A \) y conectamos \( a \) y \( b \) con una línea si \( a \) divide a \( b \) y no hay ningún otro elemento \( c \) tal que \( a \) divide a \( c \) y \( c \) divide a \( b \). Los pares de divisibilidad en \( A \) son: - \( 1 \) divide a todos los elementos. - \( 2 \) divide a \( 4, 6, 10, 24, 40, 120 \). - \( 4 \) divide a \( 24 \) y \( 120 \). - \( 6 \) divide a \( 24 \) y \( 120 \). - \( 10 \) divide a \( 120 \). - \( 24 \) divide a \( 120 \). El diagrama de Hasse se vería así: ``` 120 / | \ / | \ 24 10 \ | | \ 6 2 \ | | \ 4 | \ \ | \ \ | \ 1 ``` Para mostrar que \( (A, \mid) \) es un reticulado, necesitamos verificar que para cualquier par de elementos \( a, b \in A \), existen el ínfimo (máximo común divisor) y el supremo (mínimo común múltiplo) en \( A \). - **Ínfimo**: Para cualquier par \( a, b \), el ínfimo \( a \wedge b \) es el máximo común divisor de \( a \) y \( b \), que siempre pertenece a \( A \). - **Supremo**: El supremo \( a \vee b \) es el mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \), que también pertenece a \( A \). Por lo tanto, \( (A, \mid) \) es un reticulado. ### (b) Conjuntos de cotas superiores e inferiores de \( \{2, 4, 6\} \) - **Cotas superiores**: Son los elementos de \( A \) que son divisibles por todos los elementos de \( \{2, 4, 6\} \). El mínimo común múltiplo de \( 2, 4, 6 \) es \( 12 \), pero \( 12 \notin A \). Los elementos que son divisibles por \( 2, 4, 6 \) son \( 24 \) y \( 120 \). Por lo tanto, las cotas superiores son \( \{24, 120\} \). - **Cotas inferiores**: Son los elementos de \( A \) que dividen a todos los elementos de \( \{2, 4, 6\} \). El máximo común divisor de \( 2, 4, 6 \) es \( 2 \). Por lo tanto, la única cota inferior es \( \{1, 2\} \). - **Ínfimo**: El ínfimo de \( \{2, 4, 6\} \) es \( 2 \). - **Supremo**: El supremo de \( \{2, 4, 6\} \) es \( 24 \). ### (c) Complementos de 4 y de 6 Un complemento de un elemento \( a \) en un reticulado es un elemento \( b \) tal que \( a \wedge b \) es el ínfimo (1) y \( a \vee b \) es el supremo (120). - Para \( 4 \): - \( 4 \wedge b = 1 \) implica que \( b \) no puede ser divisible por \( 4 \). - \( 4 \vee b = 120 \) implica que \( b \) debe ser un múltiplo de \( 30 \) (ya que \( 120/4 = 30 \)). - El único candidato en \( A \) que cumple esto es \( 30 \), pero \( 30 \notin A \). Por lo tanto, no hay complemento para \( 4 \). - Para \( 6 \): - \( 6 \wedge b = 1 \) implica que \( b \) no puede ser divisible por \( 6 \). - \( 6 \vee b = 120 \) implica que \( b \) debe ser un múltiplo de \( 20 \) (ya que \( 120/6 = 20 \)). - El único candidato en \( A \) que cumple esto es \( 20 \), pero \( 20 \notin A \). Por lo tanto, no hay complemento para \( 6 \). ### (d) Distributividad de la terna \( (4, 6, 10) \) Para que la terna \( (4, 6, 10) \) sea distributiva, debe cumplirse que: \[ a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \] Verificamos: - \( 6 \vee 10 = 30 \) (no está en \( A \)). - \( 4 \wedge 6 = 2 \). - \( 4 \wedge 10 = 2 \). Como \( 30 \notin A \), no podemos verificar la distributividad en este caso. Para determinar si \( (A, \mid) \) es un álgebra de Boole, necesitamos que cada elemento tenga un complemento y que se cumplan las propiedades de álgebra de Boole. Dado que hemos encontrado que no hay complementos para \( 4 \) y \( 6 \), podemos concluir que \( (A, \mid) \) no es un álgebra de Boole. ### Resumen - \( (A, \mid) \) es un reticulado. - Las cotas superiores de \( \{2, 4, 6\} \) son \( \{24, 120\} \) y la cota inferior es \( \{1, 2\} \) con ínfimo \( 2 \) y supremo \( 24 \). - No hay complementos para \( 4 \) y \( 6 \). - La terna \( (4, 6, 10) \) no es distributiva y \( (A, \mid) \) no es un álgebra de Boole.