Pregunta
upstudy study bank question image url

Find the absolute minimum value on \( (0, \infty) \) for \( f(x)=\frac{4 e^{x}}{x^{3}} \). Select the correct choice below and, if necessary, fill in the answer boxes to complete your choice. A. The absolute minimum is \( \square \) at \( x=\square \). (Round to two decimal places as needed.) B. There is no absolute minimum.

Ask by Henry Willis. in the United States
Mar 18,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The absolute minimum value of \( f(x) = \frac{4e^x}{x^3} \) on \( (0, \infty) \) is approximately \( 2.98 \) at \( x = 3 \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Extra Insights

To find the absolute minimum value of \( f(x) = \frac{4e^x}{x^3} \) on the interval \( (0, \infty) \), we first need to find the critical points by taking the derivative and setting it to zero. 1. Compute \( f'(x) \): Using the quotient rule: \[ f'(x) = \frac{(x^3)(4e^x)'- (4e^x)(x^3)'}{(x^3)^2} \] Simplifying leads to: \[ f'(x) = \frac{4e^x (x^3 - 3x^2)}{x^6} = \frac{4e^x \cdot x^2 (x - 3)}{x^6}. \] Set \( f'(x) = 0 \) to find critical points: \[ 4e^x \cdot x^2 (x - 3) = 0. \] Since \( e^x > 0 \) and \( x^2 > 0 \) for \( x > 0 \), we have: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3. \] 2. Evaluate the function at the critical point and the endpoints: \[ f(3) = \frac{4e^3}{3^3} = \frac{4e^3}{27}. \] Now check the behavior as \( x \to 0^+ \) and as \( x \to \infty \): - As \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to \infty \). - As \( x \to \infty \), \( \( \frac{e^x}{x^3} \to \infty \). 3. Since the function tends to infinity in both directions and attains a minimum at \( x = 3 \), we can find \( f(3) \): \[ f(3) \approx \frac{4 \cdot 20.0855}{27} \approx 2.977. \] Thus, the absolute minimum value is: A. The absolute minimum is \( \approx 2.98 \) at \( x=3 \).

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad