4. Mostra que \( \log _{b}(a) \times \log _{c}(b) \times \log _{a}(c)=1 \) \( \ln \frac{\sqrt{e^{a}}}{2}=\frac{a}{4} \)

Vamos resolver a primeira parte da sua pergunta: Para mostrar que \[ \log_{b}(a) \times \log_{c}(b) \times \log_{a}(c) = 1, \] utilizaremos a mudança de base da logaritmo. Se a gente considerar a mudança de base para o logaritmo, podemos expressar cada logaritmo na base desejada em termos de logaritmos em uma base comum, digamos a base \(a\): 1. \(\log_b(a) = \frac{\log_a(a)}{\log_a(b)} = \frac{1}{\log_a(b)}\) 2. \(\log_c(b) = \frac{\log_a(b)}{\log_a(c)}\) 3. \(\log_a(c) = \frac{\log_a(c)}{\log_a(a)} = \log_a(c)\) Substituindo esses na expressão original, temos: \(\log_{b}(a) \times \log_{c}(b) \times \log_{a}(c) = \left(\frac{1}{\log_a(b)}\right) \times \left(\frac{\log_a(b)}{\log_a(c)}\right) \times \log_a(c) = 1\). Essa relação é uma consequência da propriedade dos logaritmos e nos mostra como os logaritmos podem nos ajudar a manipular as variáveis de forma consistente. Agora, para a segunda parte: \[ \ln \frac{\sqrt{e^{a}}}{2}=\frac{a}{4}. \] Podemos começar reescrevendo \(\frac{\sqrt{e^{a}}}{2}\): \[ \frac{\sqrt{e^{a}}}{2} = \frac{e^{a/2}}{2}. \] Isso transforma nossa expressão em: \[ \ln\left(\frac{e^{a/2}}{2}\right) = \ln(e^{a/2}) - \ln(2). \] Por propriedades dos logaritmos, sabemos que \(\ln(e^{a/2}) = \frac{a}{2}\). Assim, \[ \ln\left(\frac{e^{a/2}}{2}\right) = \frac{a}{2} - \ln(2). \] Agora, para alcançar a relação dada \(\frac{a}{4}\), vejamos se é dependente do valor de \(\ln(2)\) ou se pode ser reescrito em uma forma que atenda a condição. Isso implica que: se igualássemos \(\frac{a}{2} - \ln(2)\) e \(\frac{a}{4}\), precisaríamos de uma comparação que indicaria que \(a = 2\ln(2)\). Assim, de fato, a afirmação geral pode ser mais complexa, dependendo das condições que impomos a \(a\).