El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende * de la densidad de árboles plantados. Si se plantan x árboles en una hectárea, entonces, cada árbol produce 900 - \( 9 x \) manzanas. ¿Cuántos árboles se deben plantar por hectárea de tal manera que se obtenga el máximo de producción de manzanas y cuál será ese máximo de producción?

Para determinar el número óptimo de árboles que se deben plantar por hectárea para maximizar la producción de manzanas, seguimos los siguientes pasos: 1. **Función de Producción Total:** La producción total \( P(x) \) en manzanas cuando se plantan \( x \) árboles por hectárea es: \[ P(x) = x \times (900 - 9x) = 900x - 9x^2 \] 2. **Encontrar el Máximo de la Función Cuadrática:** La función \( P(x) = -9x^2 + 900x \) es una parábola que abre hacia abajo, por lo que su máximo se encuentra en el vértice. La fórmula para la abscisa del vértice de una parábola de la forma \( ax^2 + bx + c \) es: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Aplicando los valores: \[ x = -\frac{900}{2 \times (-9)} = \frac{900}{18} = 50 \] Por lo tanto, se deben plantar **50 árboles** por hectárea. 3. **Cálculo de la Producción Máxima:** Sustituyendo \( x = 50 \) en la función de producción: \[ P(50) = 50 \times (900 - 9 \times 50) = 50 \times (900 - 450) = 50 \times 450 = 22,500 \text{ manzanas} \] **Conclusión:** Para obtener el máximo de producción de manzanas, se deben plantar **50 árboles por hectárea**, lo que resultará en una producción máxima de **22 500 manzanas** por hectárea.