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Los valores de \(\alpha\) que hacen que los vectores \(A = (-1,1)\) y \(B = (\alpha, \alpha+2)\) formen un ángulo de \(60^{\circ}\) son:
\[
\alpha = -1 + \sqrt{3} \quad \text{y} \quad \alpha = -1 - \sqrt{3}.
\]
Solución
1. Se tiene que los vectores
\[
\mathbf{A}=(-1,1) \quad \text{y} \quad \mathbf{B}=(\alpha,\alpha+2)
\]
forman un ángulo de \(60^{\circ}\). La fórmula del ángulo \(\theta\) entre dos vectores \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) es:
\[
\cos\theta = \frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\|\|\mathbf{B}\|}
\]
donde \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\) es el producto punto y \(\|\mathbf{A}\|,\|\mathbf{B}\|\) son las normas de los vectores.
2. Calculemos el producto punto:
\[
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = (-1)\alpha + (1)(\alpha+2) = -\alpha+\alpha+2=2.
\]
3. Se calcula la norma de \(\mathbf{A}\):
\[
\|\mathbf{A}\| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
\]
4. Se calcula la norma de \(\mathbf{B}\):
\[
\|\mathbf{B}\| = \sqrt{\alpha^2+(\alpha+2)^2}.
\]
Expandamos \((\alpha+2)^2\):
\[
(\alpha+2)^2=\alpha^2+4\alpha+4.
\]
Entonces:
\[
\|\mathbf{B}\| = \sqrt{\alpha^2+\alpha^2+4\alpha+4}=\sqrt{2\alpha^2+4\alpha+4}.
\]
Se puede factorizar:
\[
\|\mathbf{B}\| = \sqrt{2(\alpha^2+2\alpha+2)}.
\]
5. Dado que \(\theta = 60^{\circ}\) y \(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\), la ecuación se vuelve:
\[
\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{2(\alpha^2+2\alpha+2)}}.
\]
Simplifiquemos el denominador:
\[
\sqrt{2}\sqrt{2(\alpha^2+2\alpha+2)} = \sqrt{4(\alpha^2+2\alpha+2)} = 2\sqrt{\alpha^2+2\alpha+2}.
\]
Entonces la ecuación es:
\[
\frac{1}{2} = \frac{2}{2\sqrt{\alpha^2+2\alpha+2}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha^2+2\alpha+2}}.
\]
6. Despejamos \(\sqrt{\alpha^2+2\alpha+2}\):
\[
\sqrt{\alpha^2+2\alpha+2} = 2.
\]
7. Elevando al cuadrado ambos lados:
\[
\alpha^2+2\alpha+2=4.
\]
Restamos 4 en ambos lados:
\[
\alpha^2+2\alpha-2=0.
\]
8. Se resuelve la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:
\[
\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}.
\]
Simplificamos \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\):
\[
\alpha = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}.
\]
9. Por lo tanto, los valores de \(\alpha\) que cumplen la condición son:
\[
\alpha=-1+\sqrt{3} \quad \text{y} \quad \alpha=-1-\sqrt{3}.
\]
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
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