De las siguientes opciones: 1) $$ (\sqrt[n]{y})^{m}=\left(y^{n}\right)^{1 / m} $$ 2) $$ \sqrt{(2 x)(8 y)}=4 \sqrt{x} \sqrt{y} $$ 3) $$ \sqrt[3]{x^{3 / 2}}=x^{1 / 2} $$ 4) $$ \sqrt[2]{-49}=-7 $$ son propiedades de los radicales: Seleccione una: a 1) y 3) (i) 2) y 4) (e) c 2) y 3) (i) 1 (i)

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Analicemos cada una de las expresiones:

1) Se tiene la igualdad
$$
(\sqrt[n]{y})^{m}=\left(y^{n}\right)^{1 / m}.
$$
Recordemos que $$ (\sqrt[n]{y})^{m} = y^{m/n} $$ y $$\left(y^{n}\right)^{1/m} = y^{n/m}$$. Para que $$y^{m/n}= y^{n/m}$$ se deba cumplir, en general se requeriría que $$\frac{m}{n}=\frac{n}{m}$$, lo cual implica $$m^2=n^2$$, es decir, $$m=n$$ (o $$m=-n$$ considerando casos triviales). Por lo tanto, la igualdad no es válida en general.  
 
2) Se tiene
$$
\sqrt{(2x)(8y)}.
$$
Multiplicando dentro de la raíz:
$$
(2x)(8y)=16xy.
$$
Luego,
$$
\sqrt{16xy}=4\sqrt{xy}.
$$
Y por la propiedad multiplicativa de la raíz (para $$x$$ e $$y$$ no negativos),
$$
4\sqrt{xy}=4\sqrt{x}\sqrt{y}.
$$
Así, la igualdad es correcta.

3) Se tiene
$$
\sqrt[3]{x^{3/2}}.
$$
Utilizando propiedades de potencias y radicales:
$$
\sqrt[3]{x^{3/2}} = x^{\frac{3/2}{3}} = x^{1/2}.
$$
La igualdad es válida, considerando el dominio adecuado (por ejemplo, $$x\ge 0$$ en contextos reales).

4) Se tiene
$$
\sqrt{-49}=-7.
$$
En la definición de la raíz cuadrada en el conjunto de los números reales, $$\sqrt{a}$$ se define como la raíz no negativa cuando $$a\ge0$$. Además, $$\sqrt{-49}$$ no está definida en los reales; en los complejos se tiene $$\sqrt{-49}=7i$$ (o $$-7i$$ si se toma la otra raíz, pero la notación $$\sqrt{-49}$$ usualmente se interpreta como el valor principal). Por lo tanto, la igualdad no es correcta en el contexto usual de los radicales en los números reales.

Concluyendo, las propiedades correctas son la 2) y la 3).

La opción correcta es: c) 2) y 3).
Las opciones correctas son 2) y 3).

De las siguientes opciones: 1) \( (\sqrt[n]{y})^{m}=\left(y^{n}\right)^{1 / m} \) 2) \( \sqrt{(2 x)(8 y)}=4 \sqrt{x} \sqrt{y} \) 3) \( \sqrt[3]{x^{3 / 2}}=x^{1 / 2} \) 4) \( \sqrt[2]{-49}=-7 \) son propiedades de los radicales: Seleccione una: a 1) y 3) (i) 2) y 4) (e) c 2) y 3) (i) 1 (i)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions