Cómo encontrar la frecuencia relativa en estadística

¿Por qué se venden las manzanas más rápido en un supermercado que en otro, o por qué las calificaciones de los exámenes entre compañeros a menudo muestran patrones donde las calificaciones más altas son más raras y las intermedias más frecuentes? ¡Responder a estas preguntas cotidianas utilizando la frecuencia relativa en estadísticas puede proporcionarnos respuestas! Por ejemplo, supongamos que siempre hay cola en la cafetería de tu barrio tres de cada cinco días de la semana. Aquí entra en juego la frecuencia relativa. Nos ofrece una perspectiva estadística a través de la cual podemos entender la proporción de eventos que ocurren basándonos en frecuencias relativas; ¡adentrémonos en ello!

Conceptos Básicos de la Frecuencia Relativa

Definición e Ideas Clave

¿Qué es la Frecuencia Relativa?

La frecuencia relativa es una medida estadística utilizada para cuantificar la proporción de un evento que ocurre dentro de un conjunto de datos, determinada dividiendo su frecuencia absoluta por el tamaño total de la muestra. La frecuencia relativa se destaca por ser relativa: en lugar de solo proporcionar conteos absolutos de eventos, como mencionar el baloncesto en un informe de frecuencia absoluta de un evento, la frecuencia relativa ayuda a dar una idea más clara de su importancia dentro del contexto del conjunto de datos completo. Si hay 40 estudiantes en una clase y a 10 les gusta lo suficiente como para que el baloncesto represente un 25% de frecuencia relativa.

Antes de explorar la frecuencia relativa, es crucial primero comprender la frecuencia absoluta. La frecuencia absoluta mide la frecuencia total o cantidad de veces que ocurre un evento, mientras que la frecuencia relativa agrega dimensiones proporcionando mediciones proporcionales; matemáticamente, esta expresión podría lucir algo así:

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{\text{Frecuencia Absoluta}}{\text{Tamaño Total de la Muestra}}\]  

Ejemplo: Si analizamos los puntajes de exámenes de 50 estudiantes y descubrimos que 20 estudiantes obtuvieron entre 60-80 en un examen, su frecuencia absoluta para ese rango sería 20 mientras que su frecuencia relativa sería 10.

Al cambiar de frecuencia absoluta a frecuencia relativa, podemos obtener una mejor comprensión de cómo se distribuyen las ocurrencias en todo el conjunto de datos.

Significado Práctico de la Frecuencia Relativa

Rol en el Análisis de Datos

La frecuencia relativa ofrece una manera estándar de describir datos. No importa el tamaño o cantidad de un conjunto de datos o muestra, la frecuencia relativa utiliza un formato consistente de "proporción" que facilita la comparación entre eventos e instancias. En entornos minoristas, por ejemplo, la frecuencia absoluta podría mostrar cuántos clientes prefieren una marca sobre otra, mientras que las frecuencias relativas ayudan a los tomadores de decisiones a entender las preferencias de los clientes de manera rápida y precisa; al estudiar las frecuencias relativas, más marcas pueden optimizar estrategias de marketing y colocación de productos de manera efectiva.

Pasos para Calcular la Frecuencia Relativa

Fórmula y Derivación

Desglose de la Fórmula de Frecuencia Relativa

La fórmula para la frecuencia relativa es sencilla:

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{\text{Frecuencia del Evento}}{\text{Tamaño Total de la Muestra}}\]

Esta fórmula estandariza los datos y permite una comparación entre categorías. Por ejemplo, en un evento deportivo escolar con 50 participantes y 20 eligiendo la carrera de 100 metros, su frecuencia relativa se calcularía de la siguiente manera.

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{20}{50} = 0.4\]  

Esta cifra representa que el 40 por ciento de los estudiantes participaron en el evento de carrera de 100 metros, como se muestra. La frecuencia relativa puede proporcionar una representación simple pero directa de conjuntos de datos complejos como análisis multicategóricos o multivariantes.

Cálculo Manual de la Frecuencia Relativa

Categorización de Datos y Conteo de Frecuencias

Calcular manualmente la frecuencia relativa implica categorizar datos. Por ejemplo, al observar las calificaciones de los exámenes de los estudiantes de tu clase, organízalas en intervalos como "menos de 60," "60-70," "70-80," y "más de 80," registrando cuántos estudiantes caen dentro de cada rango (frecuencias absolutas).

Cálculo del Tamaño Total de la Muestra

A continuación, calcula el tamaño total de la muestra sumando todas las frecuencias absolutas de todas las categorías. Por ejemplo, si "menos de 60" incluye 5 estudiantes mientras que "60–70" tiene 10 estudiantes, "70–80" tiene 12 estudiantes, y "más de 80" tiene 8 estudiantes. Por lo tanto, esto llevaría tu tamaño total de la muestra a\[\text{Tamaño Total de la Muestra} = 5 + 10 + 12 + 8 = 35\]

Cálculo de la Frecuencia Relativa

Finalmente, utiliza la fórmula para calcular la frecuencia relativa de cada categoría. Por ejemplo:  

Para la categoría "menos de 60":  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{5}{35} = 0.1429 \ (aproximadamente 14.29\%)\]  

Para la categoría "60–70":  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{10}{35} = 0.2857 \ (aproximadamente 28.57\%)\]  

Esto produce frecuencias relativas para cada categoría, facilitando la comparación e interpretación de la distribución de datos.

Errores Comunes a Evitar

Impacto de Datos Incompletos

Las categorías de datos que falten pueden causar errores en el tamaño total de la muestra, lo que lleva a resultados incorrectos de frecuencia relativa. La falta de registro de respuestas podría crear proporciones imprecisas.

Errores en la Categorización y Agrupación

Las definiciones de los grupos pueden tener un efecto significativo en los resultados. Agrupaciones demasiado amplias (como simplemente "aprobado o reprobado" para calificaciones) podrían ocultar detalles importantes mientras que agrupaciones excesivamente estrechas (intervalos de 1 punto, por ejemplo) podrían complicar el análisis; seleccionar intervalos de agrupación óptimos asegura un equilibrio efectivo entre simplicidad y representación significativa de los datos.

Calculando la Frecuencia Relativa Acumulada

Concepto de Frecuencia Relativa Acumulada

Diferencia con la Frecuencia Relativa Ordinaria

Frecuencia relativa acumulada proporciona una visión no solo de la proporción de datos dentro de una categoría, sino de todas las categorías anteriores como un todo. Actúa como el total acumulado para frecuencias relativas a través de categorías, mientras que las frecuencias relativas tradicionales solo reflejan tendencias proporcionales dentro de una categoría individual.

Ejemplo de Análisis de Calificaciones Estudiantiles: Un análisis de las calificaciones de los estudiantes mostrará que cuando las puntuaciones caen entre el rango de 60-70 y 70-80, con frecuencias relativas respectivas de 0.15 y 0.25 respectivamente, entonces la frecuencia relativa acumulada de las calificaciones por debajo de 80 es:  

\[\text{Frecuencia Relativa Acumulada} = 0.15 + 0.25 = 0.40\]

Características de una Distribución Acumulada

Las distribuciones acumuladas muestran varios atributos clave.

1. Naturaleza No Decreciente: La frecuencia relativa acumulada siempre aumentará a medida que se agreguen más categorías, ya que las frecuencias se combinan en lugar de disminuir al agregar nuevas categorías.

2. Rango de 0 a 1: En este análisis, la frecuencia relativa acumulada de la primera categoría es igual a su frecuencia, mientras que la categoría final contiene todos los puntos de datos dentro de su dominio; su valor debe ser siempre uno, representando una cobertura del 100%.

La frecuencia relativa acumulada puede ayudar a comprender patrones y tendencias a través de un conjunto de datos, facilitando la interpretación de preguntas como "¿Qué proporción de estudiantes obtuvo una puntuación por debajo de cierto nivel?".

¿Cómo calcular la Frecuencia Relativa Acumulada?

Pasos de Frecuencias Básicas a Acumuladas

1. Organizar y Calcular Frecuencias Relativas Ordinarias

Para organizar los datos y calcular las frecuencias relativas ordinarias, comience clasificando su información y calculando sus frecuencias relativas de manera individual. Por ejemplo, al clasificar las calificaciones de los estudiantes por intervalos como "por debajo de 60", "60-70", "70-80" y "por encima de 80", primero calcule sus frecuencias relativas individuales antes de continuar con su análisis.

2. Sumar Acumulativamente las Frecuencias Relativas

Para calcular la frecuencia relativa acumulada, combine el valor de la frecuencia relativa de cada categoría con el de las categorías anteriores, por ejemplo:

Para el primer intervalo (<60): Frecuencia Relativa Acumulada = 0.14  

Para el segundo (60–70): Frecuencia Relativa Acumulada = 0.14 + 0.28 = 0.42  

Para el tercero (70–80): Frecuencia Relativa Acumulada = 0.42 + 0.34 = 0.76  

3. Verificar que el Valor Final Sea Igual a 1

Es imperativo que la frecuencia relativa acumulada para todos los intervalos sume 1 (100%) ya que esto indica si hubo un error en la recolección de datos o en el cálculo. De lo contrario, cualquier discrepancia podría indicar procedimientos inadecuados de recopilación o procesamiento de datos por parte de su equipo de ciencia de datos.

Tablas y Visualizaciones

La frecuencia relativa acumulada puede ilustrarse a través de tablas o gráficos para facilitar la comprensión, como esta tabla de ejemplo que muestra la distribución de calificaciones y estadísticas de frecuencia:

La frecuencia relativa acumulada también se puede visualizar mediante gráficos de líneas acumulativas que representan los límites superiores para intervalos y frecuencia relativa acumulada en un eje, proporcionando una manera intuitiva de visualizar tendencias de datos agregados como ventas acumulativas o cambios porcentuales a lo largo del tiempo.

Comparación entre Probabilidad y Frecuencia Relativa

Diferencias Fundamentales

Probabilidad Teórica vs. Frecuencia Relativa Experimental

Probabilidad y frecuencia relativa ambas proporcionan información sobre la probabilidad de eventos, pero difieren significativamente en su alcance y aplicación: la probabilidad teórica puede calcularse matemáticamente bajo condiciones ideales a través de suposiciones para demostrar la probabilidad esperada; mientras que la frecuencia relativa mide las ocurrencias relativas. Por ejemplo, en el escenario de lanzar una moneda justa sin sesgo, su probabilidad es aproximadamente la mitad (50%).

La Frecuencia Relativa Experimental se basa en datos observados obtenidos de ensayos o experimentos reales; por ejemplo, si 100 monedas son lanzadas con caras saliendo 55 veces, su frecuencia relativa sería entonces \[\frac{55}{100} = 0.55 \ (o\ 55\%)\].

La frecuencia relativa puede diferir de la probabilidad teórica debido a la limitación del tamaño de la muestra o la variabilidad experimental, reflejando más precisamente las observaciones del mundo real que la probabilidad teórica.

Sus Diferentes Roles en Estadística

1. Rol de la Probabilidad: Las probabilidades teóricas sirven como la base para la predicción y el modelado, ayudando a investigadores, empresas o planificadores a estimar resultados basados en suposiciones sobre los procesos en cuestión, como calcular las probabilidades de ganar en juegos de lotería o patrones climáticos.

2. Rol de la Frecuencia Relativa: La Frecuencia Relativa es esencial para resumir datos observados y reconocer patrones en eventos de la vida real, por ejemplo, las empresas podrían examinar la frecuencia de compra de clientes en diferentes productos para optimizar la gestión del inventario.

La probabilidad sirve como una herramienta teórica predictiva, mientras que la frecuencia relativa proporciona una visión empírica a partir de datos.

Conexión Teórica Entre Ambas

Ley de los Grandes Números y Convergencia

La Ley de los Grandes Números proporciona más confirmación entre la probabilidad y la frecuencia relativa: a medida que se realizan más ensayos, la frecuencia relativa experimental tiende a acercarse a la probabilidad teórica con el tiempo. Como ejemplo:

En promedio, una moneda justa debería tener la misma probabilidad de salir cara que cruz; después de 10 lanzamientos, podría observarse un 60-70% de caras (frecuencia relativa = \(\frac{6}{10}\) ); con 1000 lanzamientos, la frecuencia relativa probablemente se acercará más al 50%.

Entendiendo la Probabilidad a Través de la Frecuencia Experimental

La frecuencia experimental proporciona una manera fácil de entender la probabilidad abstracta. Muestra cómo, en múltiples ensayos, la aleatoriedad tiende a equilibrarse. Como ejemplo, lanzar un dado justo donde la probabilidad de cada número es aproximadamente un sexto; después de 10 lanzamientos, podría haber una distribución desigual debido a la aleatoriedad, pero al aumentar esto a 1,000 lanzamientos producirá frecuencias relativas más cercanas a \(\frac{1}{6}\).

Ejemplos de Aplicación de la Frecuencia Relativa

Ejemplo 1: Análisis de Datos de Ventas Comerciales

El análisis de frecuencia relativa en los negocios ofrece a las empresas una herramienta eficaz para medir las ventas por categorías de productos en cualquier semana y optimizar la gestión de inventarios y los planes de marketing. Consideremos un ejemplo donde se vendieron cinco categorías durante esta semana en una tienda minorista:

Producto A: 50 unidades  

Producto B: 30 unidades  

Producto C: 60 unidades  

Producto D: 40 unidades  

Producto E: 20 unidades  

El volumen total de ventas es:  

\[50 + 30 + 60 + 40 + 20 = 200\]

Ahora, calculemos la frecuencia relativa para cada categoría de producto:  

Producto A:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{50}{200} = 0.25 \ (25\%)\]  

Producto B:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{30}{200} = 0.15 \ (15\%)\]  

Producto C:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{60}{200} = 0.30 \ (30\%)\]  

Producto D:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{40}{200} = 0.20 \ (20\%)\]  

Producto E:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{20}{200} = 0.10 \ (10\%)\]  

Con base en este análisis, se puede ver que el Producto C contribuye con la mayor proporción (30%) a las ventas, mientras que el Producto E solo contribuyó con el 10% del volumen total de ventas. Los gerentes pueden aprovechar este conocimiento para enfocar artículos de alto rendimiento como el Producto C mientras exploran formas de potenciar los de bajo rendimiento como el Producto E (como promociones o reposicionamiento).

Las frecuencias relativas también pueden representarse gráficamente a través de gráficos de pastel y barras para facilitar la comprensión de las diferencias proporcionales para los tomadores de decisiones; convirtiendo las frecuencias relativas en un recurso invaluable al realizar análisis comerciales.

Ejemplo 2: Análisis de la Distribución del Tránsito Peatonal en la Tienda

El análisis de frecuencia relativa se utiliza en diversos campos e industrias, desde tiendas minoristas hasta redes de transporte e incluso meteorología. Un ejemplo simple de nuestro banco de preguntas sería medir el tráfico peatonal que ingresa en varios momentos del día: suponga que una tienda registra esto como:

8:00 AM – 12:00 PM: 40 clientes  

12:00 PM – 4:00 PM: 70 clientes  

4:00 PM – 8:00 PM: 90 clientes  

8:00 PM – Cierre (10:00 PM): 30 clientes  

El número total de clientes para el día es:  

\[40 + 70 + 90 + 30 = 230\]

Con la fórmula de frecuencia relativa, podemos calcular el porcentaje de tráfico peatonal dentro de cada intervalo de tiempo:

8:00 AM – 12:00 PM:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{40}{230} = 0.1739 \ (aproximadamente\ 17.39\%)\]  

12:00 PM – 4:00 PM:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{70}{230} = 0.3043 \ (aproximadamente\ 30.43\%)\]  

4:00 PM – 8:00 PM:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{90}{230} = 0.3913 \ (aproximadamente\ 39.13\%)\]  

8:00 PM – Cierre:  

\[\text{Frecuencia Relativa} = \frac{30}{230} = 0.1304 \ (aproximadamente\ 13.04\%)\]  

Los gerentes de tienda pueden utilizar estos cálculos para entender que su período más concurrido ocurre entre las 4:00 PM y las 8:00 PM, representando aproximadamente el 39.13% de las visitas de clientes durante ese intervalo. Por lo tanto, las necesidades de personal pueden necesitar aumentar para satisfacer esta mayor demanda de tráfico de clientes.

Calcular las frecuencias relativas acumulativas podría permitir identificar cuándo ocurre la mayor parte del tráfico peatonal:

Frecuencia acumulativa relativa hasta las 12:00 PM: 17.39%  

Frecuencia acumulativa relativa hasta las 4:00 PM: \(17.39\% + 30.43\% = 47.82\%\)  

Frecuencia acumulativa relativa hasta las 8:00 PM: \(47.82\% + 39.13\% = 86.95\%\)  

Frecuencia acumulativa relativa hasta el cierre: \(86.95\% + 13.04\% = 100\%\)  

De este análisis se puede observar que el 87% del total de clientes visita antes de las 8 PM; proporcionando información para decisiones operativas y de marketing como programar promociones durante las horas pico o expandir el horario nocturno de la tienda.

La frecuencia relativa no es solo para estadísticos: ¡también puede ayudar a la gente común a comprender patrones! Desde explicar por qué las manzanas se venden de manera diferente en las tiendas hasta decodificar tendencias de puntajes de exámenes, la frecuencia relativa ayuda a convertir datos brutos en proporciones significativas que ayudan a tomar decisiones más inteligentes y reducir sesgos en los procesos de análisis y toma de decisiones. Este artículo profundiza en la definición de frecuencia relativa, su relación con la frecuencia absoluta, sus aplicaciones como encontrar los productos más vendidos o el análisis del tráfico peatonal, así como perspectivas sobre el análisis de frecuencia relativa acumulativa que hacen que el concepto sea accesible, mientras que el análisis de frecuencia relativa acumulativa proporciona una profundidad adicional que une la probabilidad teórica con las observaciones del mundo real para asegurar análisis más sólidos y procesos de toma de decisiones más informados que nunca.

referencia：

https://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_(statistics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Empirical_probability

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers