¿Qué es la desviación estándar?

¿Qué es la desviación estándar?

Imagina seguir tus gastos mensuales en café: Algunas semanas te das el lujo de comprar lattes artesanales (25), otras te ajustas al presupuesto con café hecho en casa (10). La fluctuación en tus gastos de café—cuán "disperso" está tu gasto—es exactamente lo que mide la desviación estándar. Para los estudiantes, este concepto puede ser más cercano cuando analizan las calificaciones de los exámenes: Si dos clases promedian ambos 75% en una prueba, pero una tiene calificaciones consistentes (todas entre 70-80%) y otra fluctúa drásticamente (50-100%), la desviación estándar revela cuál grupo tiene más variabilidad (¡y estrés!). Desde las finanzas personales hasta el rendimiento académico, la desviación estándar ayuda a cuantificar la predictibilidad—o caos—en la vida cotidiana.

Definición Básica de Desviación Estándar

Conceptos Claves de Álgebra

Definición

La desviación estándar (DE) es la raíz cuadrada de la varianza. Representa la distancia promedio de los puntos de datos desde la media.

Símbolo

DE de la población: σ (sigma)

DE de la muestra: s

Tipos

DE de la población (σ): Se utiliza al analizar un conjunto de datos completo. 

Fórmula: $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{N}}$

Aquí, $\mu$ es la media de la población, y $N$ es el total de puntos de datos.

DE de la muestra (s): Ajusta el sesgo en conjuntos de datos más pequeños. 

Fórmula: $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$

Aquí, $\bar{x}$ es la media de la muestra, y $n$ es el tamaño de la muestra.

Expresiones

La varianza (${\sigma }^2$ o $s^2$) precede a la DE en los cálculos:

$\sigma =\sqrt{\text{Varianza}},s=\sqrt{\text{Varianza}}$

Esta relación simplifica los pasos de cálculo mientras mantiene la interpretabilidad.

Ejemplos

1: Desviación Estándar de la Población

Conjunto de datos: Gastos diarios en café durante una semana: [10, 12, 15, 8, 20].

Paso 1: Calcular la Media (μ)

$\mu =\frac{\sum x_i}{N}=\frac{10+12+15+8+20}{5}=\frac{65}{5}=13$

Paso 2: Encontrar Desviaciones de la Media

Restar la media de cada valor:

$$\begin{gathered} 10-13=-3 \\ 12-13=-1 \\ 15-13=+2 \\ 8-13=-5 \\ 20-13=+7 \end{gathered}$$

Paso 3: Elevar al Cuadrado Cada Desviación

$$\begin{gathered} (-3{)}^2=9 \\ (-1{)}^2=1 \\ (+2{)}^2=4 \\ (-5{)}^2=25 \\ (+7{)}^2=49 \end{gathered}$$

Paso 4: Calcular la Varianza (σ²)

Sumar las desviaciones cuadradas y dividir por $N$:

${\sigma }^2=\frac{9+1+4+25+49}{5}=\frac{88}{5}=17.6$

Paso 5: Tomar la Raíz Cuadrada

$\sigma =\sqrt{17.6}\approx 4.20$

Interpretación:

La desviación estándar de la población es $\$4.20$, lo que significa que los gastos diarios en café típicamente se desvían de la media $(\$13)$ en aproximadamente $\$4.20$.

2: Desviación Estándar de la Muestra

Conjunto de datos: Calificaciones de un estudiante en pruebas (sobre 100): [75, 80, 90, 65, 85].

Paso 1: Calcular la Media Muestral ($\bar{x}$)

$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{75+80+90+65+85}{5}=\frac{395}{5}=79$

Paso 2: Encontrar Desviaciones de la Media

$$\begin{gathered} 75-79=-4 \\ 80-79=+1 \\ 90-79=+11 \\ 65-79=-14 \\ 85-79=+6 \end{gathered}$$

Paso 3: Elevar al Cuadrado Cada Desviación

$$\begin{gathered} (-4{)}^2=16 \\ (+1{)}^2=1 \\ (+11{)}^2=121 \\ (-14{)}^2=196 \\ (+6{)}^2=36 \end{gathered}$$

Paso 4: Calcular la Varianza ($s^2$)

Sumar las desviaciones cuadradas y dividir por $n-1$:

$s^2=\frac{16+1+121+196+36}{5-1}=\frac{370}{4}=92.5$

Paso 5: Tomar la Raíz Cuadrada

$s=\sqrt{92.5}\approx 9.62$

Interpretación:

La desviación estándar de la muestra es aproximadamente 9.62, lo que indica que las calificaciones varían del promedio (79) en aproximadamente 9.62 puntos.

¿Por qué $n-1$?

La corrección de Bessel (usando $n-1$ en lugar de $n$ para muestras) ajusta el sesgo porque las muestras a menudo subestiman la varianza poblacional. Este ajuste asegura que la varianza de la muestra se aproxime mejor a la verdadera varianza poblacional.

Ilustraciones

Gráficamente, la DE determina la "anchura" de una curva de campana en distribuciones normales:

• El 68% de los datos se encuentra dentro de $\pm 1\sigma$.
• El 95% dentro de $\pm 2\sigma$.
• El 99.7% dentro de $\pm 3\sigma$.

Un grupo estrecho (baja $DE$) implica previsibilidad, mientras que una amplia dispersión (alta $DE$) indica volatilidad.

Métodos para Calcular la Desviación Estándar

Desviación Estándar de Población

La desviación estándar de la población (σ) cuantifica la dispersión de datos en todo un grupo o conjunto de datos. Se calcula utilizando todos los puntos de datos y refleja la verdadera variabilidad dentro de la población.

Fórmula:

$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{N}}$

Pasos:

1. Calcular la media de la población ($\mu$):

$\mu =\frac{\sum x_i}{N}$

Ejemplo: Para alturas (en cm) de los 5 estudiantes en una clase: 

$160,165,170,155,175$

$\mu =\frac{\sum x_i}{N}$

2. Calcular las desviaciones: Restar μ de cada valor:

$160-165=-5,165-165=0,170-165=+5,155-165=-10,175-165=+10$

3. Cuadrar las desviaciones:

$(-5{)}^2=25,(0{)}^2=0,(+5{)}^2=25,(-10{)}^2=100,(+10{)}^2=100$

4. Sumar las desviaciones al cuadrado:

$25+0+25+100+100=250$

5. Dividir por el tamaño de la población ($N$):

$\text{Varianza }({\sigma }^2)=\frac{250}{5}=50$

6. Tomar la raíz cuadrada:

$\sigma =\sqrt{50}\approx 7.07\text{cm}$

Interpretación: Las alturas varían del promedio alrededor de 7.07 cm.

Suposición clave: Utilizar este método solo cuando se trabaje con datos completos.

Desviación Estándar de Muestra

La desviación estándar de la muestra ($s$) estima la variabilidad en un subconjunto de datos. Se ajusta para sesgo usando $n-1$ (corrección de Bessel) en lugar de $n$.

Fórmula:

$s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$

Pasos:

1. Calcular la media de la muestra ($\bar{x}$):

Ejemplo: Una muestra de 4 de 100 pesos de producto (en gramos): 

[$75,80,90,65,85$].

$50-51.25=-1.25,52-51.25=+0.75,48-51.25=-3.25,55-51.25=+3.75$

2. Calcular las desviaciones:

$50-51.25=-1.25,52-51.25=+0.75,48-51.25=-3.25,55-51.25=+3.75$

3. Cuadrar las desviaciones:

$(-1.25{)}^2=1.56,(+0.75{)}^2=0.56,(-3.25{)}^2=10.56,(+3.75{)}^2=14.06$

4. Sumar las desviaciones al cuadrado:

$1.56+0.56+10.56+14.06=26.74$

5. Dividir por $n-1$:

$\text{Varianza de la muestra }(s^2)=\frac{26.74}{3}\approx 8.91$

6. Tomar la raíz cuadrada:

$s\approx \sqrt{8.91}\approx 2.99\text{gramos}$

Interpretación: Los pesos en la muestra se desvían aproximadamente 2.99 gramos de la media.

¿Por qué $n-1$?

Muestras pequeñas a menudo subestiman la verdadera varianza de la población. Reducir el denominador a $n-1$ aumenta el valor de la varianza, proporcionando una estimación más precisa.

Cuándo Usar: Priorizar este método para *conjuntos de datos parciales* o al generalizar a una población más grande.

Para solidificar su comprensión de estos conceptos, considere practicar problemas de estadística que involucren el cálculo de desviaciones estándar en diferentes contextos, ya que los ejercicios prácticos mejorarán su dominio del análisis estadístico.

Rol y Aplicaciones de la Desviación Estándar

Rol de la Desviación Estándar

Análisis de Datos

La desviación estándar es una piedra angular del análisis de datos, proporcionando una lente matemática para evaluar la variabilidad. Al cuantificar cuán agrupados o dispersos están los datos alrededor de la media, ayuda a los analistas a distinguir entre patrones consistentes y fluctuaciones aleatorias. Por ejemplo, en el control de calidad, un fabricante que mide el diámetro de tornillos podría encontrar una media de 10 mm con una desviación estándar de 0.2 mm. Una pequeña desviación implica alta precisión, mientras que desviaciones mayores podrían indicar fallas en el equipo o defectos en los materiales. Esto hace que la desviación estándar sea crítica para la optimización de procesos: las fábricas a menudo establecen "niveles sigma" (e.g., Six Sigma) para minimizar defectos reduciendo la variabilidad.

Más allá de las aplicaciones industriales, la desviación estándar simplifica la interpretación de resultados de encuestas. Si dos encuestas políticas reportan puntuaciones idénticas de satisfacción del votante (e.g., 6/10), la encuesta con una desviación estándar más baja indica fuerte consenso entre los encuestados, mientras que una alta desviación refleja opiniones polarizadas. Los científicos sociales también la utilizan para filtrar valores atípicos—puntos de datos que se alejan de la norma. Por ejemplo, en ensayos clínicos, un participante que muestre efectos secundarios extremos (e.g., desviaciones de presión arterial que superen ±3σ) podría ser señalado para una mayor investigación.

Esta métrica transforma números brutos en conocimientos aplicables, permitiendo a los profesionales tomar decisiones basadas en evidencias. Ya sea optimizando cadenas de suministro o validando hipótesis, la desviación estándar actúa como un patrón universal para la incertidumbre.

Aplicaciones de la Desviación Estándar

Finanzas

La desviación estándar es la columna vertebral de la evaluación del riesgo financiero, sirviendo como una métrica universal para la volatilidad. En los mercados bursátiles, cuantifica las fluctuaciones de precio históricas de un activo, ayudando a los inversores a evaluar riesgos potenciales futuros. Por ejemplo, una acción con una desviación estándar de retorno diario del 3% se considera más riesgosa que una con un 1%, ya que sus oscilaciones de precio son más impredecibles.

Optimización de Cartera: La Teoría Moderna de Carteras (MPT) utiliza la desviación estándar para equilibrar activos de alto y bajo riesgo. Por ejemplo, combinar acciones tecnológicas volátiles (σ = 15%) con bonos gubernamentales estables (σ = 2%) puede reducir la volatilidad general de la cartera. El Ratio de Sharpe cuantifica este equilibrio dividiendo los retornos excesivos por la desviación estándar—un ratio más alto señala un mejor rendimiento ajustado al riesgo.

Pṛicing de Derivados: El modelo Black-Scholes integra la volatilidad histórica (derivada de la desviación estándar) para fijar el precio de las opciones. Una acción con volatilidad anualizada del 20% tendrá opciones más caras que una con el 10%, ya que los compradores pagan más por el potencial al alza.

Mercados de Criptomonedas: La notoria volatilidad de Bitcoin (σ anualizada ≈ 80%) ilustra su naturaleza especulativa. Los comerciantes utilizan la desviación estándar para establecer órdenes de stop-loss; si el precio de Bitcoin fluctúa en ±5% diariamente, una desviación del 10% podría activar ventas automáticas para limitar pérdidas.

Caso del Mundo Real: Durante la crisis financiera de 2008, los valores respaldados por hipotecas mostraron desviaciones estándar explosivas, exponiendo riesgos ocultos. Las instituciones que ignoraron estas señales enfrentaron pérdidas catastróficas, subrayando el poder predictivo de la métrica.

Psicología

En psicología, la desviación estándar conecta el comportamiento individual con las normas poblacionales.

Pruebas Psicométricas: Las puntuaciones de IQ siguen una media de 100 y una desviación estándar de 15. Una puntuación de 130 (>2σ por encima de la media) sitúa a alguien en el top 2.5%—un umbral para la clasificación de "superdotado". Por el contrario, una puntuación de 70 (<2σ por debajo) puede indicar discapacidad intelectual.

Diagnóstico Clínico: Los terapeutas rastrean la estabilidad emocional en pacientes bipolares usando diarios de estado de ánimo. Un paciente con puntuaciones diarias de estado anímico oscilantes (σ = 4 en una escala de 10 puntos) podría requerir intervención urgente, mientras que un paciente estable (σ = 1.5) muestra mejor control de síntomas.

Investigación Experimental: Los psicólogos cognitivos que estudian los tiempos de reacción utilizan bajas desviaciones estándar para validar condiciones controladas. Por ejemplo, si los tiempos de respuesta de los participantes en una prueba de memoria se agrupan estrechamente alrededor de 500ms (σ = 50ms), sugiere procesamiento cognitivo consistente. Las altas desviaciones (σ = 200ms), sin embargo, podrían revelar lapsos de atención, llevando a los investigadores a endurecer los protocolos experimentales.

Psicología Educacional: Las escuelas analizan distribuciones de calificaciones. Una clase de matemáticas con un promedio de 75% y σ = 5% indica efectividad uniforme en la enseñanza, mientras que σ = 15% sugiere comprensión desigual, guiando programas de tutoría focalizados.

Big Data

En ecosistemas de big data, la desviación estándar impulsa la detección de anomalías, el ingeniero de características y el análisis predictivo.

Redes de Sensores IoT: Las plantas de manufactura monitorean equipos a través de sensores de temperatura. Una máquina operando a 30°C con σ = 1°C es estable, pero un aumento repentino a 40°C (σ > 3°C) podría señalar una falla inminente, activando alertas de mantenimiento.

Aprendizaje Automático:

• Escalado de Características: Los modelos estandarizan variables de entrada usando puntajes Z $\frac{x-\mu }{\sigma }$. Datos de ingresos (rango: 0-200k) y edad (0-100 años) se vuelven comparables después de la normalización.
• Detección de Anomalías: Los sistemas de detección de fraude señalan transacciones de tarjetas de crédito que se desvían >3σ de los patrones de gasto de un usuario (e.g., una compra de 5,000 después de un historial de promedios de 50).

Análisis de Retail:

• Pronóstico de Demanda: Un producto con σ de ventas = 10 unidades requiere stock de seguridad mínimo, mientras que uno con σ = 50 unidades necesita inventario de reserva.
• Segmentación de Clientes: Los minoristas agrupan a los compradores por la variabilidad de sus compras. A los clientes con alta desviación (σ = 200/mes) se les puede aplicar precios dinámicos, mientras que los compradores estables (σ = 20) reciben recompensas de lealtad.

Industria del Entretenimiento: Netflix analiza las desviaciones en el tiempo de visualización para medir el atractivo del contenido. Una serie vista compulsivamente (σ = 10 minutos por sesión) se prioriza en recomendaciones, mientras que un documental con σ = 45 minutos (visualización esporádica) se relega a categorías de nicho.

Ciencias del Clima: Los meteorólogos usan tendencias de desviación de temperatura (e.g., aumento de σ en promedios estacionales) para modelar impactos del cambio climático, como el aumento en la frecuencia de eventos meteorológicos extremos.

Ventajas y Desventajas de la Desviación Estándar

Ventajas

La desviación estándar es apreciada por su interpretabilidad. Como una medida de dispersión expresada en las mismas unidades que los datos originales (por ejemplo, dólares, puntuaciones de exámenes), proporciona percepciones intuitivas. Por ejemplo, si una panadería informa pesos de galletas con un promedio de 50g y σ = 2g, inmediatamente transmite que la mayoría de los productos están entre 46–54g.

También integra todos los puntos de datos, a diferencia del rango, que se centra solo en los extremos. Esto la hace sensible a pequeñas fluctuaciones, útil para detectar tendencias sutiles en control de calidad o en los mercados financieros.

Las propiedades matemáticas mejoran aún más su utilidad. La desviación estándar sustenta herramientas estadísticas como intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. En inversiones, las carteras se optimizan usando el Ratio de Sharpe, que divide los rendimientos por su desviación estándar para evaluar la eficiencia del riesgo.

Desventajas

La sensibilidad de la desviación estándar a los valores atípicos puede distorsionar los resultados. Por ejemplo, si un conjunto de datos de salarios de empleados tiene un promedio de 60,000 pero incluye un CEO que gana 5 millones, σ se infla artificialmente, malrepresentando la dispersión típica de los ingresos.

También asume simetría, teniendo dificultades con distribuciones sesgadas. Considere los precios de viviendas en una ciudad: La mayoría están entre 200k–400k, pero algunas casas de lujo cuestan 2M. A pesar de los datos sesgados a la derecha, la desviación estándar trata las desviaciones por igual, pasando por alto la asimetría.

Además, carece de significado contextual para distribuciones no normales. En tales casos, métricas como el rango intercuartílico (IQR) capturan mejor la variabilidad.

Finalmente, la dependencia en las desviaciones al cuadrado enfatiza diferencias mayores, lo cual puede no alinearse con prioridades del mundo real. En encuestas de satisfacción del cliente (escalas de 1–5), incluso pequeñas desviaciones (por ejemplo, σ = 0.8) podrían ocultar cambios significativos de sentimiento.

Relación Entre la Desviación Estándar y Otras Medidas Estadísticas

Desviación Estándar y Cuantiles

La desviación estándar (σ) y los cuantiles son herramientas complementarias para entender la distribución de datos, cada una ofreciendo percepciones únicas. Cuantiles, como cuartiles o percentiles, dividen los datos en segmentos según el rango. Por ejemplo, la mediana (percentil 50) divide los datos en dos mitades, mientras que el rango intercuartílico (IQR = Q3 - Q1) captura el 50% medio de los valores. A diferencia de la desviación estándar, los cuantiles se centran en la *posición de los datos* más que en la dispersión desde el promedio, haciéndolos robustos frente a los valores atípicos y distribuciones sesgadas.

Sin embargo, la desviación estándar cuantifica directamente la dispersión promediando las desviaciones del promedio. Su contraparte cuadrada, varianza (σ²), enfatiza aún más estas desviaciones, pero es menos intuitiva debido a las unidades al cuadrado. Para los rendimientos financieros, la varianza suma las fluctuaciones diarias al cuadrado, pero los inversores prefieren σ (por ejemplo, volatilidad anualizada) por su alineación directa con las escalas de rendimiento. Juntas, σ y los cuantiles proporcionan una visión holística: σ revela la variabilidad general, mientras que los cuantiles destacan la forma de la distribución y el impacto de los valores atípicos.

En distribuciones simétricas con forma de campana (por ejemplo, alturas), σ y IQR se correlacionan estrechamente. Para una distribución normal, aproximadamente el 50% de los datos se encuentra dentro de ±0.67σ, alineándose con el IQR. Sin embargo, en datos sesgados (por ejemplo, ingresos), σ puede exagerar la variabilidad debido a los valores atípicos, mientras que los cuantiles permanecen estables.

Para ilustrar, considere los ingresos de los hogares en una ciudad:

• Sesgo a la derecha: La mayoría gana 40k–80k (IQR = 40k), pero algunos CEOs ganan más de 5M, inflando σ a 250k.
• Estrategia normalizada: Los analistas informan ambas métricas—IQR para reflejar los ingresos típicos y σ para dar cuenta de la disparidad extrema de riqueza.

La varianza, aunque fundamental en fórmulas (por ejemplo, ANOVA), a menudo es eclipsada por σ en la interpretación práctica. Sin embargo, entender su relación conecta las estadísticas teóricas con la toma de decisiones en el mundo real.

Referencia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

https://www.journalofsurgicalresearch.com/article/S0022-4804(04)00055-1/abstract

https://ekja.org/journal/view.php?doi=10.4097/kjae.2015.68.3.220

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717701001091