17. Dada a tabela \( M=\left(m_{i j}\right)=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right| \) e o conjunto \( A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\} \), define-se em \( A \) uma relação \( R \) por aRa \( \Leftrightarrow m_{i j}=1 \). Verifique se R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Para verificar as propriedades da relação \( R \) definida sobre o conjunto \( A \) utilizando a tabela \( M \), consideramos cada uma das propriedades: 1. **Reflexividade**: Uma relação \( R \) é reflexiva se, para todo elemento \( a_i \in A \), temos \( a_i R a_i \). No nosso caso, precisamos verificar os elementos da diagonal principal da matriz \( M \), ou seja, \( m_{11}, m_{22}, m_{33}, m_{44} \). Observamos que temos \( m_{11} = 1\), mas \( m_{22} = 0\), \( m_{33} = 0\), e \( m_{44} = 0\). Isso significa que a relação não é reflexiva, pois não temos \( a_2 R a_2\), \( a_3 R a_3\), e \( a_4 R a_4\). 2. **Simetria**: A relação \( R \) é simétrica se, sempre que \( a_i R a_j \), então também \( a_j R a_i \). Observando a matriz, temos: se \( m_{ij} = 1 \) (o que significa que \( a_i R a_j \)), então devemos verificar se \( m_{ji} = 1 \). Examinando as entradas, podemos ver que para todos os pares onde \( m_{ij} = 1 \), a entrada correspondente \( m_{ji} \) também é 1; por exemplo, \( m_{12} = 1 \) e \( m_{21} = 1 \). Portanto, a relação é simétrica. 3. **Transitividade**: A relação \( R \) é transitiva se, sempre que \( a_i R a_j \) e \( a_j R a_k \), então \( a_i R a_k \). Para verificar isso, observe os pares. Assumindo que encontramos \( m_{ij} = 1 \) e \( m_{jk} = 1 \), precisamos demonstrar que \( m_{ik} = 1 \). Por exemplo, observando \( m_{12} = 1 \) e \( m_{24} = 1 \) (o que nos dá \( a_1 R a_2 \) e \( a_2 R a_4 \)), não temos \( m_{14} = 1\). Assim, a relação não é transitiva. Resumindo, a relação \( R \) é simétrica, mas não é reflexiva nem transitiva.