2.1. TALLER. Graficar en \( 0 \prec x \leq 2, \quad y=\frac{2}{x} \). Determine el valor de \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \), si x cambia de 0.75 a 0.5 . Resp. \( -\frac{16}{3} \)

Para resolver el problema, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Graficar la función**: La función dada es \( y = \frac{2}{x} \). Vamos a graficar esta función en el intervalo \( 0 < x \leq 2 \). 2. **Calcular el cambio en \( y \) y \( x \)**: Necesitamos determinar el valor de \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) cuando \( x \) cambia de \( 0.75 \) a \( 0.5 \). ### Paso 1: Graficar la función La función \( y = \frac{2}{x} \) es una hipérbola que se aproxima al eje \( y \) cuando \( x \) se acerca a \( 0 \) y se aproxima al eje \( x \) cuando \( x \) se acerca a \( 2 \). ### Paso 2: Calcular \( \Delta y \) y \( \Delta x \) Primero, calculamos los valores de \( y \) en los puntos \( x = 0.75 \) y \( x = 0.5 \): - Para \( x = 0.75 \): \[ y(0.75) = \frac{2}{0.75} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3} \] - Para \( x = 0.5 \): \[ y(0.5) = \frac{2}{0.5} = 4 \] Ahora, calculamos \( \Delta y \) y \( \Delta x \): - \( \Delta y = y(0.5) - y(0.75) = 4 - \frac{8}{3} \) - \( \Delta x = 0.5 - 0.75 = -0.25 \) Calculamos \( \Delta y \): \[ \Delta y = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] ### Paso 3: Calcular \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) Ahora, calculamos \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \): \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{4}{3}}{-0.25} = \frac{4}{3} \times \frac{-4}{1} = -\frac{16}{3} \] ### Respuesta Por lo tanto, el valor de \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) cuando \( x \) cambia de \( 0.75 \) a \( 0.5 \) es: \[ -\frac{16}{3} \]