Obtener la matriz B que verifica el sistema: \( \begin{aligned} 2 A+1 B & =\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0\end{array}\right] \\ 3 A+-3 B & =\left[\begin{array}{ccc}-4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right] \\ \text { a. } B & =\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{9} & 0 & \frac{2}{9} \\ -\frac{8}{9} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{9}\end{array}\right] \\ \text { b. } B & =\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{9} & 0 & \frac{2}{9} \\ -\frac{8}{9} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{9}\end{array}\right] \\ B & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{11}{9} & \frac{4}{3} & \frac{10}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{3} & \frac{2}{9}\end{array}\right] \\ \text { c. } B & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{7} & 0 & -\frac{2}{7} \\ \frac{8}{7} & -\frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{array}\right]\end{aligned} \)

Para resolver el sistema de ecuaciones que involucra las matrices \( A \) y \( B \), primero necesitamos expresar \( A \) en términos de \( B \) utilizando las dos ecuaciones dadas. Las ecuaciones son: 1. \( 2A + 1B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \) 2. \( 3A - 3B = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \) Podemos reescribir estas ecuaciones para despejar \( A \): De la primera ecuación: \[ 2A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} - B \] \[ A = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} - B \right) \] De la segunda ecuación: \[ 3A = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + 3B \] \[ A = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + 3B \right) \] Ahora tenemos dos expresiones para \( A \): 1. \( A = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} - B \right) \) 2. \( A = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + 3B \right) \) Igualamos ambas expresiones: \[ \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} - B \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + 3B \right) \] Multiplicamos ambos lados por 6 para eliminar los denominadores: \[ 3 \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} - B \right) = 2 \left( \begin{bmatrix} -4 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + 3B \right) \] Desarrollamos ambos lados: \[ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 6 \\ -6 & 3 & 0 \end{bmatrix} - 3B = \begin{bmatrix} -8 & -6 & -4 \\ -2 & 0 & -2 \end{bmatrix} + 6B \] Reorganizamos la ecuación: \[ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 6 \\ -6 & 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 & 6 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 9B \] \[ \begin{bmatrix} 11 & 12 & 10 \\ -4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = 9B \] Finalmente, despejamos \( B \): \[ B = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 11 & 12 & 10 \\ -4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{11}{9} & \frac{4}{3} & \frac{10}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{3} & \frac{2}{9} \end{bmatrix} \] Por lo tanto, la matriz \( B \) que verifica el sistema es: \[ B = \begin{bmatrix} \frac{11}{9} & \frac{4}{3} & \frac{10}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{3} & \frac{2}{9} \end{bmatrix} \] La opción correcta es: \[ B = \left[\begin{array}{ccc}\frac{11}{9} & \frac{4}{3} & \frac{10}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{1}{3} & \frac{2}{9}\end{array}\right] \]