6. Considere un factor de acumulación dada por la fórmula \( \alpha t^{2}+\beta \) donde \( \alpha, \beta \) son constantes desco- nocidas. Se sabe que si se invierten \( \$ 100 \) al día de hoy, al final de 3 periodos se tendrá un monto acumulado de \( \$ 172 \). Con dicha información, calcule el valor de las constantes \( \alpha, \beta \) y posteriormente calcule el valor acumulado en 10 periodos de tiempo, si al día de hoy se invierten \( \$ 250 \).

Para resolver el problema, primero usamos la información dada para encontrar los valores de \( \alpha \) y \( \beta \). Se establece que el monto acumulado \( A \) después de 3 periodos es: \[ A = 100 (\alpha (3^2) + \beta) = 172 \] Esto se simplifica a: \[ 100 (9\alpha + \beta) = 172 \] Dividiendo ambos lados entre 100: \[ 9\alpha + \beta = 1.72 \quad \text{(1)} \] Ahora, para otro dato adicional, si consideramos la acumulación para el día de hoy, \( t = 0 \): \[ A = 100 (\alpha (0^2) + \beta) = 100\beta \] Dado que no se proporciona un monto, supondremos que al día de hoy el monto es solo el capital inicial, es decir \( A = 100 \): \[ 100\beta = 100 \quad \Rightarrow \quad \beta = 1 \quad \text{(2)} \] Sustituyendo (2) en (1): \[ 9\alpha + 1 = 1.72 \quad \Rightarrow \quad 9\alpha = 0.72 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 0.08 \] Ahora que tenemos \( \alpha \) y \( \beta \), que son \( \alpha = 0.08 \) y \( \beta = 1 \), podemos calcular el monto acumulado después de 10 periodos para una inversión de \( \$ 250 \): \[ A = 250 (\alpha (10^2) + \beta) = 250 (0.08(100) + 1) \] \[ A = 250 (8 + 1) = 250 \times 9 = 2250 \] Por lo tanto, el monto acumulado después de 10 periodos será \( \$ 2250 \).